Questão de Estatística · FGV TJ-AP 2024 (nº 65)

O resíduo ($r_i$) é a diferença entre o valor que observamos ($y_i$) e o valor que o nosso modelo de regressão prevê ($\hat{y}_i$). Em um modelo de regressão linear ajustado pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), que busca a linha (ou plano) que melhor se ajusta aos dados minimizando a soma dos quadrados dos resíduos, uma das propriedades matemáticas resultantes é que a soma de todos os resíduos é zero. Consequentemente, a média e o valor esperado dos resíduos também são zero.

• (A) Correta: O valor esperado para o resíduo é 0. Isso é uma propriedade fundamental do método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), que ajusta o modelo de regressão de forma que a soma dos resíduos seja zero, e, portanto, a média e o valor esperado dos resíduos também são zero.
• (B) Incorreta: Esta expressão ($\beta_0 + \sum \beta_i$) representa a soma dos coeficientes do modelo, que não tem relação direta com o valor esperado de um resíduo.
• (C) Incorreta: Esta expressão ($\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$) é a variância populacional da variável $X$ (ou uma estimativa da variância amostral se o denominador fosse $n-1$), não o valor esperado dos resíduos.
• (D) Incorreta: Esta expressão ($\sqrt{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}$) é o desvio padrão populacional da variável $X$ (ou uma estimativa do desvio padrão amostral), não o valor esperado dos resíduos.
• (E) Incorreta: Esta expressão ($\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}X^2}$) é a função densidade de probabilidade de uma distribuição normal padrão. É um distrator tentador porque, na regressão, os erros (não os resíduos) são frequentemente assumidos como tendo uma distribuição normal com média zero, mas esta é a função de densidade, não o valor esperado do resíduo. A armadilha aqui é confundir a distribuição do erro com o valor esperado do resíduo.