Questão de Estatística · FGV TJ-AP 2024 (nº 59)

A Distribuição Normal Padrão é uma distribuição de probabilidade em forma de sino, simétrica em torno de zero, onde a Função de Distribuição Acumulada (FDA), $\Phi(x)$, representa a probabilidade de um valor ser menor ou igual a $x$.

(A) Incorreta: $\Phi(0)$ representa a probabilidade $P(X \le 0)$. Devido à simetria da distribuição Normal Padrão em torno de 0, metade da área total (probabilidade total = 1) está à esquerda de 0, portanto $\Phi(0) = 0.5$.
(B) Incorreta: $\Phi(0)$ é 0.5, não 1. O valor 1 é o limite superior da FDA, atingido quando $x \to \infty$.
(C) Incorreta: Esta afirmação implicaria que a probabilidade de ser menor ou igual a $k$ é a mesma que a de ser menor ou igual a $-k$. Isso não é verdade para a FDA de uma distribuição simétrica; por exemplo, para $k > 0$, $\Phi(k)$ é maior que 0.5, enquanto $\Phi(-k)$ é menor que 0.5. A armadilha aqui é confundir a simetria da função de densidade de probabilidade ($f(x) = f(-x)$) com a FDA.
(D) Correta: Esta é a expressão da simetria da Distribuição Normal Padrão. $1-\Phi(k)$ representa a probabilidade $P(X > k)$ (a "cauda" direita da distribuição). $\Phi(-k)$ representa a probabilidade $P(X \le -k)$ (a "cauda" esquerda da distribuição). Devido à simetria em torno de zero, a área da cauda direita a partir de $k$ é igual à área da cauda esquerda até $-k$. Ou seja, $P(X > k) = P(X \le -k)$, que é exatamente $1-\Phi(k) = \Phi(-k)$.
(E) Incorreta: Embora esta expressão seja uma reorganização algébrica da alternativa D (adicionando $\Phi(k)$ a ambos os lados de $1-\Phi(k) = \Phi(-k)$), a alternativa D expressa a propriedade de simetria de forma mais direta, relacionando as probabilidades das caudas. A banca pode considerar que esta forma, embora matematicamente equivalente, não é a representação "primária" ou mais conceitual da simetria das caudas.