Questão de Estatística · FGV TJ-AP 2024 (nº 52)

Duas variáveis aleatórias são independentes se o conhecimento sobre o valor de uma delas não altera a distribuição de probabilidade da outra. Em termos de funções de densidade de probabilidade (para variáveis contínuas) ou de probabilidade (para discretas), isso significa que a probabilidade conjunta de ambas ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.

• (A) Incorreta: Embora seja verdade que para variáveis aleatórias independentes $E[X \mid Y]=E[X]$ e $E[Y \mid X]=E[Y]$, esta é uma propriedade da esperança condicional, e não a definição fundamental de independência expressa diretamente pelas funções de densidade de probabilidade.
• (B) Incorreta: A correlação zero é uma consequência da independência, mas não a sua definição. Variáveis independentes sempre têm correlação zero, mas variáveis com correlação zero não são necessariamente independentes (podem ter uma relação não linear).
• (C) Incorreta: A covariância zero é uma consequência da independência, mas não a sua definição. Assim como a correlação, variáveis independentes têm covariância zero, mas o inverso não é sempre verdadeiro. Armadilha: Esta é uma das pegadinhas mais comuns. Muitos estudantes associam covariância/correlação zero com independência, mas a independência é uma condição mais forte e fundamental. A covariância/correlação zero apenas indica a ausência de uma relação linear, enquanto a independência significa ausência de qualquer tipo de relação (linear ou não linear).
• (D) Incorreta: A relação $f_{XY}(X,Y) = f_X(X) + f_Y(Y)$ é fundamentalmente incorreta para funções de densidade de probabilidade. A soma de funções de densidade não resulta na função de densidade conjunta; a integral da soma não seria 1, por exemplo.
• (E) Correta: Esta é a definição de independência para duas variáveis aleatórias contínuas $X$ e $Y$. A função de densidade de probabilidade conjunta $f_{XY}(X,Y)$ é igual ao produto das funções de densidade de probabilidade marginais $f_X(X)$ e $f_Y(Y)$. Isso significa que a probabilidade de $X$ assumir um valor e $Y$ assumir outro é simplesmente o produto das probabilidades de cada um ocorrer independentemente.