Questão de Estatística · FGV TJ-AP 2024 (nº 51)

Uma tentativa de Bernoulli é um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). Quando os resultados de várias tentativas não se influenciam, eles são chamados de eventos independentes, e a probabilidade de todos ocorrerem em sequência é o produto de suas probabilidades individuais.

A probabilidade de o jogador acertar um lance livre é $P(\text{acerto}) = 0.90$.
A probabilidade de o jogador acertar $n$ lances livres consecutivos é $(0.90)^n$, pois os lances são independentes.
A probabilidade de o jogador não acertar todos os $n$ lances consecutivos é o evento complementar, ou seja, $1 - (0.90)^n$.
Queremos encontrar o menor número inteiro $n$ tal que $1 - (0.90)^n > 0.50$.
Reorganizando a inequação, temos $(0.90)^n < 0.50$.

Vamos testar os valores de $n$:

• Para $n=1$: $(0.90)^1 = 0.90$. Não é menor que 0.50.
• Para $n=2$: $(0.90)^2 = 0.81$. Não é menor que 0.50.
• Para $n=3$: $(0.90)^3 = 0.729$. Não é menor que 0.50.
• Para $n=4$: $(0.90)^4 = 0.6561$. Não é menor que 0.50.
• Para $n=5$: $(0.90)^5 = 0.59049$. Não é menor que 0.50.
• Para $n=6$: $(0.90)^6 = 0.531441$. Não é menor que 0.50.
• Para $n=7$: $(0.90)^7 = 0.4782969$. É menor que 0.50.

Portanto, o número mínimo de tentativas consecutivas que torna a probabilidade de não acertar todos os lances maior que 50% é 7. A expressão "valor esperado" na pergunta refere-se ao valor numérico que se espera encontrar como resposta, e não a um valor esperado estatístico de uma variável aleatória.

(A) Incorreta: Para $n=3$, a probabilidade de não acertar todos é $1 - (0.9)^3 = 1 - 0.729 = 0.271$, que não é maior que 0.50.
(B) Incorreta: Para $n=4$, a probabilidade de não acertar todos é $1 - (0.9)^4 = 1 - 0.6561 = 0.3439$, que não é maior que 0.50.
(C) Incorreta: Para $n=5$, a probabilidade de não acertar todos é $1 - (0.9)^5 = 1 - 0.59049 = 0.40951$, que não é maior que 0.50.
(D) Incorreta: Para $n=6$, a probabilidade de não acertar todos é $1 - (0.9)^6 = 1 - 0.531441 = 0.468559$, que ainda não é maior que 0.50. Esta alternativa é um distrator comum, pois $(0.9)^6$ é o último valor que é maior que 0.50, mas a condição é que a probabilidade de não acertar seja maior que 0.50 (ou seja, $(0.9)^n$ deve ser menor que 0.50).
(E) Correta: Para $n=7$, a probabilidade de não acertar todos é $1 - (0.9)^7 = 1 - 0.4782969 = 0.5217031$. Como $0.5217031 > 0.50$, este é o número mínimo de tentativas que satisfaz a condição.