Questão de Estatística · FGV TJ-AP 2024 (nº 49)

O Método dos Momentos é uma técnica para estimar parâmetros desconhecidos de uma distribuição de probabilidade, igualando os momentos teóricos (esperanças de potências da variável aleatória) aos momentos amostrais (médias das potências dos dados observados).

Para uma distribuição Normal, os parâmetros são a média ($\mu$) e a variância ($\sigma^2$).

1. O primeiro momento teórico é $E[X] = \mu$.
2. O segundo momento teórico é $E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = \sigma^2 + \mu^2$.

Os momentos amostrais fornecidos são:

1. Primeiro momento amostral: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i = 5$. Este é o estimador da média ($\hat{\mu}$).
2. Segundo momento amostral: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2 = 30$.

Pelo Método dos Momentos, igualamos os momentos teóricos aos amostrais:
$\hat{\mu} = 5$
$\hat{\sigma}^2 + \hat{\mu}^2 = 30$

Substituindo o valor de $\hat{\mu}$ na segunda equação:
$\hat{\sigma}^2 + (5)^2 = 30$
$\hat{\sigma}^2 + 25 = 30$
$\hat{\sigma}^2 = 30 - 25$
$\hat{\sigma}^2 = 5$

(A) Incorreta: O valor 1 não é o resultado da aplicação do Método dos Momentos com os dados fornecidos.
(B) Incorreta: O valor 2 não é o resultado da aplicação do Método dos Momentos com os dados fornecidos.
(C) Incorreta: O valor 3 não é o resultado da aplicação do Método dos Momentos com os dados fornecidos.
(D) Incorreta: O valor 4 não é o resultado da aplicação do Método dos Momentos com os dados fornecidos.
(E) Correta: A variância estimada pelo Método dos Momentos é $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - (\frac{1}{n}\sum X_i)^2 = 30 - 5^2 = 30 - 25 = 5$. A armadilha da banca poderia ser confundir este estimador (que é o estimador de variância enviesado) com o estimador de variância não enviesado, que usa $n-1$ no denominador; no entanto, a questão pede explicitamente o resultado pelo Método dos Momentos, que leva diretamente a este cálculo.