Questão de Atuária · FGV TCE-TO 2022 (nº 63)

Uma anuidade atuarial é uma série de pagamentos que considera a probabilidade de vida de um indivíduo e a taxa de juros. Uma anuidade antecipada (ou "due") faz pagamentos no início de cada período, enquanto uma anuidade postecipada (ou "immediate") faz pagamentos no final de cada período.

(A) Correta: Uma anuidade antecipada por 15 anos ($a(65,0,15)$) inclui um pagamento no tempo $t=0$ (idade 65) e mais 14 pagamentos subsequentes (do tempo $t=1$ ao $t=14$). A anuidade postecipada por 14 anos ($a(65,1,14)$) inclui pagamentos do tempo $t=1$ ao $t=14$. Assim, $a(65,0,15)$ é igual ao primeiro pagamento (que é 1) mais a anuidade postecipada por 14 anos, ou seja, $a(65,0,15) = 1 + a(65,1,14)$.

(B) Incorreta: $a(65,0,14)$ representa pagamentos do tempo $t=0$ ao $t=13$. Adicionar 1 a isso não forma $a(65,0,15)$, pois faltaria o pagamento no $t=14$.

(C) Incorreta: Subtrair 1 de uma anuidade postecipada por 14 anos não faz sentido no contexto de equivalência de anuidades.

(D) Incorreta: Subtrair 1 de uma anuidade antecipada por 14 anos não faz sentido no contexto de equivalência de anuidades.

(E) Incorreta: Esta é a alternativa mais tentadora. $a(65,0,15)$ tem pagamentos em $t=0, 1, ..., 14$. $a(65,1,15)$ tem pagamentos em $t=1, 2, ..., 15$. A diferença entre elas é $a(65,0,15) - a(65,1,15) = (\text{pagamento em } t=0) - (\text{pagamento em } t=15) = 1 - v^{15} \cdot {}_{15}p_{65}$. Como $v^{15} \cdot {}_{15}p_{65}$ não é zero, a diferença não é simplesmente $+1$ ou $-1$. A armadilha é pensar que a mudança de tipo de anuidade (antecipada para postecipada) com o mesmo prazo (15 anos) se resolve apenas adicionando ou subtraindo o primeiro ou último pagamento, sem considerar o valor presente e a probabilidade de sobrevivência do último pagamento.