Questão de Estatística · FGV TCE-TO 2022 (nº 38)

A média (ou esperança) de uma variável aleatória linearmente transformada ($aX+b$) é afetada tanto pela multiplicação ($a$) quanto pela soma/subtração ($b$), enquanto a variância é afetada apenas pela multiplicação ($a$), e sempre pelo seu quadrado ($a^2$), pois a soma/subtração apenas desloca a distribuição sem alterar sua dispersão.

Para a variável $Y = 5X - 100$:
A média de $Y$ é $E[Y] = E[5X - 100] = 5E[X] - 100$.
Substituindo $E[X] = 20$: $E[Y] = 5(20) - 100 = 100 - 100 = 0$.

A variância de $Y$ é $Var[Y] = Var[5X - 100] = 5^2 Var[X]$.
Substituindo $Var[X] = 4$: $Var[Y] = 25 \times 4 = 100$.

Portanto, a média de Y é 0 e a variância de Y é 100.

(A) Incorreta: A média está correta (0), mas a variância está incorreta. A armadilha aqui é calcular a variância como $5 \times Var[X]$ em vez de $5^2 \times Var[X]$, resultando em $5 \times 4 = 20$.
(B) Correta: A média é 0 e a variância é 100, conforme as propriedades de esperança e variância de transformações lineares de variáveis aleatórias: $E[aX+b] = aE[X]+b$ e $Var[aX+b] = a^2Var[X]$.
(C) Incorreta: Tanto a média quanto a variância estão incorretas. A média estaria 100 se o aluno esquecesse de subtrair o 100, calculando apenas $5E[X]$. A variância estaria 20 se o aluno não elevasse o fator multiplicativo ao quadrado. **(D) Incorreta:** A média está incorreta (100 em vez de 0). A variância está correta (100). O erro na média seria o mesmo da alternativa C, esquecendo a subtração da constante. **(E) Incorreta:** Tanto a média quanto a variância estão incorretas. Os valores apresentados (20 e 20) seriam os de$X$ se não houvesse transformação, ou se o aluno cometesse erros significativos nas propriedades.