Questão de Ciências Atuariais · FGV TCE-PA 2024 (nº 85)

A probabilidade ${}_{n/m}Q_{xy}$ representa a chance de que, de um casal de pessoas com idades x e y, pelo menos uma delas morra em um período futuro, especificamente após "n" anos e dentro dos "m" anos seguintes (ou seja, entre os anos n e n+m).

• (A) Incorreta: Esta expressão não corresponde à probabilidade de morte no período diferido. $Q_{xy}$ é a probabilidade de pelo menos uma morte no primeiro ano, e ${}_np_{xy}$ é a probabilidade de ambas sobreviverem n anos; o produto não tem significado direto para o evento descrito.
• (B) Incorreta: Semelhante à alternativa A, esta expressão não representa a probabilidade de morte no período diferido. $Q_{xy}$ refere-se ao primeiro ano, e ${}_mp_{xy}$ à sobrevivência por m anos; o produto não se alinha com o evento.
• (C) Incorreta: Esta alternativa representa a probabilidade de ambas as vidas sobreviverem n anos E (x morrer entre n e n+m OU y morrer entre n e n+m), o que não é equivalente à probabilidade de pelo menos uma morte no período diferido para as vidas originais.
• (D) Correta: Esta alternativa representa a soma das probabilidades de cada vida morrer no período especificado. O primeiro termo, ${}_mQ_{x+n} \times {}_np_x$, calcula a probabilidade de a pessoa de idade x sobreviver n anos e morrer nos m anos seguintes (ou seja, ${}_{n/m}Q_x$). O segundo termo, ${}_mQ_{y+n} \times {}_np_y$, faz o mesmo para a pessoa de idade y (ou seja, ${}_{n/m}Q_y$). Assim, a alternativa D é igual a ${}_{n/m}Q_x + {}_{n/m}Q_y$. Embora a notação ${}_{n/m}Q_{xy}$ geralmente represente a probabilidade de pelo menos uma das vidas morrer (que é $1 - {}_{n+m}p_{xy}$), esta alternativa é o gabarito oficial, indicando que a questão busca a soma das probabilidades individuais de morte no período.
• (E) Incorreta: Esta é a definição padrão e mais aceita para a probabilidade de pelo menos uma das vidas (x ou y) morrer entre o ano n e o ano n+m (${}_{n/m}Q_{xy}$). Ela é calculada como 1 menos a probabilidade de ambas as vidas sobreviverem até o ano n+m. A armadilha da banca reside em apresentar a definição correta como incorreta, optando por uma expressão que representa a soma das probabilidades individuais de morte, que não é equivalente à probabilidade de "pelo menos uma" morte quando os eventos não são mutuamente exclusivos.