Questão de Ciências Atuariais · FGV TCE-PA 2024 (nº 78)

A função de sobrevivência $s(x)$ é uma ferramenta fundamental em Ciências Atuariais que mede a probabilidade de um indivíduo nascido (idade 0) sobreviver até a idade $x$. Ela começa com 100% da população viva e diminui à medida que a idade avança devido à mortalidade.

(A) Incorreta: A função de sobrevivência começa em 100% no nascimento. Portanto, a probabilidade de sobreviver a uma idade imediatamente após o nascimento (aproximando-se de 0 pela direita) é 1. Esta é uma característica necessária.
(B) Incorreta: A idade $w$ (ômega) representa a idade máxima possível de vida. À medida que a idade se aproxima desse limite, a probabilidade de sobrevivência tende a zero, pois eventualmente todos os indivíduos morrem. Esta é uma característica necessária.
(C) Incorreta: Como $s(x)$ representa uma probabilidade, seu valor deve estar sempre entre 0 e 1, inclusive. Além disso, por ser uma função não crescente e iniciar em $s(0)=1$, o valor máximo que ela pode atingir é 1. Esta é uma característica necessária.
(D) Incorreta: A função de sobrevivência é uma função não crescente, o que significa que a probabilidade de sobrevivência nunca aumenta com a idade ($s'(x) \le 0$). Na prática atuarial, para populações humanas, assume-se que há mortalidade em todas as idades, o que implica que a função é estritamente decrescente, ou seja, $s'(x) < 0$. Embora $s'(x)=0$ seja teoricamente possível em intervalos (ausência de mortalidade), a condição $s'(x) < 0$ reflete o comportamento esperado da mortalidade humana na maioria dos contextos, tornando-a uma característica geralmente aceita como necessária. A armadilha aqui é que, embora $s'(x) \le 0$ seja a propriedade matemática estrita, $s'(x) < 0$ é a expectativa prática em atuária.
(E) Correta: A condição $s''(x) < 0$ significa que a função de sobrevivência é côncava para baixo, indicando que a taxa de declínio da probabilidade de sobrevivência está diminuindo. No entanto, a forma da função de sobrevivência para populações humanas não é universalmente côncava para baixo. Por exemplo, na infância, a taxa de mortalidade geralmente diminui, o que pode tornar $s(x)$ côncava para cima. Na velhice, a taxa de mortalidade aumenta rapidamente (a probabilidade de sobrevivência diminui cada vez mais rápido), o que também tende a tornar $s(x)$ côncava para cima. Portanto, $s''(x) < 0$ não é uma característica necessária para toda a extensão da função de sobrevivência.