Questão de Ciências Atuariais · FGV TCE-PA 2024 (nº 76)

As funções de comutação $D_x$ são ferramentas atuariais que combinam a probabilidade de sobrevivência ($l_x$, o número de pessoas vivas na idade $x$) e o fator de desconto ($v = 1/(1+i)$, onde $i$ é a taxa de juros) para simplificar cálculos de valores presentes de benefícios futuros. A relação fundamental é $D_x = v^x \cdot l_x$.

• (A) Incorreta: Um cálculo incorreto da taxa de juros ou a omissão de um dos fatores na fórmula levaria a este resultado.
• (B) Incorreta: Um cálculo incorreto da taxa de juros ou a omissão de um dos fatores na fórmula levaria a este resultado.
• (C) Incorreta: Um cálculo incorreto da taxa de juros ou a omissão de um dos fatores na fórmula levaria a este resultado.
• (D) Correta: A taxa de juros é obtida da relação entre as funções de comutação e os números de vivos. Sabemos que $D_x = v^x \cdot l_x$ e $D_{x+1} = v^{x+1} \cdot l_{x+1}$. Dividindo $D_{x+1}$ por $D_x$, obtemos $\frac{D_{x+1}}{D_x} = \frac{v^{x+1} \cdot l_{x+1}}{v^x \cdot l_x} = v \cdot \frac{l_{x+1}}{l_x}$. Assim, o fator de desconto $v = \frac{D_{x+1}}{D_x} \cdot \frac{l_x}{l_{x+1}}$. Substituindo os valores dados: $v = \frac{7.915,50}{8.339,04} \cdot \frac{95.627,12}{95.308,68} \approx 0,949195 \cdot 1,003341 \approx 0,95236$. Como $v = \frac{1}{1+i}$, temos $1+i = \frac{1}{v} \approx \frac{1}{0,95236} \approx 1,05$. Portanto, $i = 1,05 - 1 = 0,05$, ou 5%. A armadilha comum seria esquecer de incluir o fator de mortalidade $\frac{l_x}{l_{x+1}}$ na fórmula, calculando $v$ apenas como $\frac{D_{x+1}}{D_x}$, o que levaria a um resultado diferente.
• (E) Incorreta: Um cálculo incorreto da taxa de juros ou a omissão de um dos fatores na fórmula levaria a este resultado.