Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 79)

A estimativa pontual é o melhor "chute" para o valor verdadeiro de um parâmetro (como a proporção $p$) e, em um intervalo de confiança simétrico, é o ponto médio do intervalo. O intervalo de confiança é uma faixa de valores onde esperamos que o parâmetro real esteja, e sua largura depende da estimativa pontual, do tamanho da amostra e do nível de confiança.

• (A) Incorreta: A estimativa pontual de $p$ é o ponto médio do intervalo (0,34 + 0,66) / 2 = 0,5, não 0,25.
• (B) Correta:
  1. Estimativa Pontual de $p$ ($\hat{p}$): Para um intervalo de confiança simétrico, a estimativa pontual é o ponto central do intervalo.
     $\hat{p} = \frac{0,34 + 0,66}{2} = \frac{1,00}{2} = 0,5$.
  2. Cálculo do Tamanho da Amostra ($m$): O intervalo de confiança aproximado para uma proporção é dado por $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{m}}$.
     A margem de erro (ME) é metade da largura do intervalo: $ME = \frac{0,66 - 0,34}{2} = \frac{0,32}{2} = 0,16$.
     Para um nível de confiança de 68%, o valor crítico $z_{\alpha/2}$ é aproximadamente 1 (pois 68% dos dados em uma distribuição normal estão dentro de 1 desvio padrão da média).
     Então, $ME = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{m}}$
     $0,16 = 1 \cdot \sqrt{\frac{0,5(1-0,5)}{m}}$
     $0,16 = 1 \cdot \sqrt{\frac{0,5 \cdot 0,5}{m}}$
     $0,16 = \sqrt{\frac{0,25}{m}}$
     Para isolar $m$, elevamos ambos os lados ao quadrado:
     $(0,16)^2 = \frac{0,25}{m}$
     $0,0256 = \frac{0,25}{m}$
     $m = \frac{0,25}{0,0256} \approx 9,7656$.
     Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, e 9,7656 está muito próximo de 10, arredondamos para $m=10$.
• (C) Incorreta: A estimativa pontual de $p$ está correta (0,5), mas o número de amostras (m) está incorreto. A armadilha aqui pode ser um erro de cálculo na raiz quadrada ou na elevação ao quadrado ao resolver para $m$, levando a um valor muito maior.
• (D) Incorreta: A estimativa pontual de $p$ está incorreta.
• (E) Incorreta: Tanto a estimativa pontual de $p$ quanto o número de amostras estão incorretos.