Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 78)

Um Processo de Poisson descreve eventos que acontecem de forma aleatória e independente ao longo do tempo, com uma taxa média constante. O tempo de espera entre dois eventos consecutivos em um Processo de Poisson segue uma distribuição exponencial.

Para que a alternativa D seja a correta, é necessário fazer duas interpretações específicas (e não as mais diretas) da questão:

1. Interpretação de "média m": Embora "Processo de Poisson com média m" geralmente se refira à taxa de ocorrência ($\lambda = m$), para chegar ao gabarito, devemos interpretar "média m" como o tempo médio de espera entre as chegadas, ou seja, $E[T] = m$.
   • Para uma distribuição exponencial, a média é $E[T] = 1/\lambda$. Assim, se $E[T] = m$, então o parâmetro da distribuição exponencial é $\lambda = 1/m$.
2. Interpretação da pergunta: A pergunta pede "A probabilidade de T exceder $v_T$", que matematicamente seria $P(T > v_T)$. No entanto, o gabarito corresponde ao valor da Função Densidade de Probabilidade (PDF) de T avaliada em $v_T$, ou seja, $f_T(v_T)$. Esta é a principal "pegadinha".

Vamos aos cálculos com essas interpretações:

• 1. Variável Aleatória T: O tempo de espera T segue uma distribuição exponencial com parâmetro $\lambda = 1/m$.

• 2. Variância de T ($v_T$): A variância de uma distribuição exponencial é $Var(T) = 1/\lambda^2$.

  • Substituindo $\lambda = 1/m$: $v_T = 1/(1/m)^2 = m^2$.

• 3. Função Densidade de Probabilidade (PDF) de T: A PDF de uma distribuição exponencial é $f_T(t) = \lambda e^{-\lambda t}$.

  • Substituindo $\lambda = 1/m$: $f_T(t) = (1/m) e^{-(1/m)t}$.

• 4. Avaliando a PDF em $v_T$: Conforme a interpretação para o gabarito, calculamos $f_T(v_T)$.

  • Substituindo $t = v_T = m^2$: $f_T(m^2) = (1/m) e^{-(1/m)m^2} = (1/m) e^{-m}$.

• (A) Incorreta: Esta forma não corresponde a nenhuma probabilidade ou densidade padrão da distribuição exponencial neste contexto.

• (B) Incorreta: Esta forma não corresponde a nenhuma probabilidade ou densidade padrão da distribuição exponencial neste contexto.

• (C) Incorreta: Se a "média m" fosse a taxa do processo de Poisson ($\lambda=m$), e a questão pedisse a PDF em $v_T = 1/m^2$, o resultado seria $m e^{-1/m}$. Esta alternativa é $m e^{-m}$, que não se encaixa.

• (D) Correta: Esta alternativa corresponde ao valor da Função Densidade de Probabilidade (PDF) da variável T avaliada na sua variância $v_T$, assumindo que "média m" se refere ao tempo médio de espera ($E[T]=m \Rightarrow \lambda=1/m$). A "pegadinha" está em o enunciado pedir uma probabilidade ($P(T > v_T)$), mas a resposta ser a densidade de probabilidade ($f_T(v_T)$).

• (E) Incorreta: Esta forma não corresponde a nenhuma probabilidade ou densidade padrão da distribuição exponencial neste contexto. Se a questão pedisse $P(T > m)$ com $\lambda=m$, o resultado seria $e^{-m^2}$, mas a alternativa tem um fator $m$ multiplicando.