Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 62)

O Teorema de Bayes nos ajuda a calcular a probabilidade condicional de um evento, ou seja, a chance de algo acontecer (como um componente ser adulterado) depois que temos uma nova informação ou evidência (como o resultado de um teste). Ele "atualiza" nossa crença inicial com base na nova evidência.

Para resolver, definimos os eventos e suas probabilidades:

• A: O componente é adulterado.
• A': O componente NÃO é adulterado.
• P: O teste deu positivo para adulteração.
• P': O teste deu negativo para adulteração.

Probabilidades dadas:

1. Probabilidade inicial de ser adulterado: $P(A) = 0.2\% = 0.002$.
2. Probabilidade inicial de NÃO ser adulterado: $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.002 = 0.998$.
3. Probabilidade de o teste dar positivo, dado que é adulterado (Verdadeiro Positivo): $P(P | A) = 90\% = 0.90$.
4. Probabilidade de o teste indicar a inexistência de adulteração, dado que NÃO é adulterado (Verdadeiro Negativo): $P(P' | A') = 98\% = 0.98$.

Probabilidades derivadas:

• Probabilidade de o teste dar negativo, dado que é adulterado (Falso Negativo): $P(P' | A) = 1 - P(P | A) = 1 - 0.90 = 0.10$.
• Probabilidade de o teste dar positivo, dado que NÃO é adulterado (Falso Positivo): $P(P | A') = 1 - P(P' | A') = 1 - 0.98 = 0.02$.

Queremos encontrar a probabilidade de o componente ser realmente adulterado, dado que o teste deu positivo, ou seja, $P(A | P)$.

Passo 1: Calcular a probabilidade total de um teste positivo, $P(P)$.
Usamos a Lei da Probabilidade Total:
$P(P) = P(P | A) \times P(A) + P(P | A') \times P(A')$
$P(P) = (0.90 \times 0.002) + (0.02 \times 0.998)$
$P(P) = 0.0018 + 0.01996$
$P(P) = 0.02176$

Passo 2: Aplicar o Teorema de Bayes para encontrar $P(A | P)$.
$P(A | P) = \frac{P(P | A) \times P(A)}{P(P)}$
$P(A | P) = \frac{0.90 \times 0.002}{0.02176}$
$P(A | P) = \frac{0.0018}{0.02176}$
$P(A | P) \approx 0.082729...$

Convertendo para porcentagem: $0.082729... \times 100\% \approx 8.27\%$.
A alternativa mais próxima é 8%.

(A) Incorreta: Esta é a probabilidade inicial de o componente ser adulterado ($P(A)$), ignorando completamente o resultado do teste. O Teorema de Bayes serve justamente para atualizar essa probabilidade com novas evidências.
(B) Incorreta: Esta é a probabilidade de um falso positivo ($P(P | A')$), ou seja, o teste dar positivo quando o componente NÃO é adulterado. Não é a probabilidade de ser adulterado dado um teste positivo.
(C) Correta: O cálculo usando o Teorema de Bayes resulta em aproximadamente 8.27%, que é arredondado para 8%. Ele considera tanto a precisão do teste quanto a probabilidade inicial de adulteração (a taxa base).
(D) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum que surge de um erro na interpretação das porcentagens. Se um aluno confundir $0.2\%$ com $0.2$(ou$20%$) e tentar calcular$P(P|A) \times P(A)$(probabilidade de um verdadeiro positivo), ele obteria$0.90 \times 0.2 = 0.18$, que, se interpretado como$18%$, seria esta alternativa. No entanto,$P(A) é \0.002, não \0.2$. Além disso,$P(P \cap A)$não é$P(A|P)$.
(E) Incorreta: Não há um cálculo direto ou um erro comum que leve a este valor.