Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 63)

A probabilidade condicional calcula a chance de um evento acontecer, sabendo que outro evento já ocorreu; é como restringir o nosso "universo" de possibilidades para apenas aquelas em que o evento conhecido aconteceu. Para calcular $P(A \mid B)$, dividimos a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem ($P(A \cap B)$) pela probabilidade do evento conhecido ($P(B)$).

Os números da roleta são $S = \{-10, -1, 0, 1, 10\}$. Ao rodar a roleta duas vezes, o espaço amostral total é de $5 \times 5 = 25$ pares ordenados $(n_1, n_2)$, cada um com probabilidade $1/25$. Seja$X = \min(n_1, n_2)$e$Y = \max(n_1, n_2)$. Queremos calcular$P(X \le 0 \mid Y^2 = 1)$.

Primeiro, identificamos o evento $B: Y^2 = 1$. Isso significa que $Y=1$ ou $Y=-1$.

1. Casos em que $Y=1$: O maior número é 1.
   Os pares $(n_1, n_2)$ onde $\max(n_1, n_2) = 1$ são:
   • $(1, -10), (1, -1), (1, 0), (1, 1)$ (quando $n_1=1$)
   • $(-10, 1), (-1, 1), (0, 1)$ (quando $n_2=1$ e $n_1 < 1$)
     Total de 7 pares.
2. Casos em que $Y=-1$: O maior número é -1.
   Os pares $(n_1, n_2)$ onde $\max(n_1, n_2) = -1$ são:
   • $(-1, -10), (-1, -1)$ (quando $n_1=-1$)
   • $(-10, -1)$ (quando $n_2=-1$ e $n_1 < -1$)
     Total de 3 pares.

O número total de resultados para o evento $B = (Y^2 = 1)$ é $7 + 3 = 10$ pares. Este é o nosso novo espaço amostral para a probabilidade condicional.

Agora, identificamos o evento $A \cap B: (X \le 0 \text{ e } Y^2 = 1)$. Para cada um dos 10 pares acima, verificamos se $X = \min(n_1, n_2) \le 0$.

1. Para os 7 pares onde $Y=1$:
   • $(1, -10) \implies X = -10 \le 0$ (Sim)
   • $(1, -1) \implies X = -1 \le 0$ (Sim)
   • $(1, 0) \implies X = 0 \le 0$ (Sim)
   • $(1, 1) \implies X = 1 \not\le 0$ (Não)
   • $(-10, 1) \implies X = -10 \le 0$ (Sim)
   • $(-1, 1) \implies X = -1 \le 0$ (Sim)
   • $(0, 1) \implies X = 0 \le 0$ (Sim)
     Dos 7 pares, 6 satisfazem $X \le 0$.
2. Para os 3 pares onde $Y=-1$:
   • $(-1, -10) \implies X = -10 \le 0$ (Sim)
   • $(-1, -1) \implies X = -1 \le 0$ (Sim)
   • $(-10, -1) \implies X = -10 \le 0$ (Sim)
     Dos 3 pares, todos 3 satisfazem $X \le 0$.

O número total de resultados para o evento $A \cap B$ é $6 + 3 = 9$ pares.

A probabilidade condicional é $P(X \le 0 \mid Y^2 = 1) = \frac{\text{Número de pares com } (X \le 0 \text{ e } Y^2=1)}{\text{Número de pares com } (Y^2=1)} = \frac{9}{10} = 0.90$.

(A) Incorreta: O cálculo correto não resulta em 0,75.
(B) Incorreta: O cálculo correto não resulta em 0,80.
(C) Incorreta: Esta alternativa seria tentadora se o estudante considerasse apenas o caso $Y=1$ (ignorando $Y=-1$), o que daria $6/7 \approx 0.857$. A armadilha da banca é testar a atenção ao detalhe de que $Y^2=1$ implica duas possibilidades para $Y$.
(D) Correta: A probabilidade é 0,90, obtida pela razão entre o número de pares onde $X \le 0$ e $Y^2=1$ (9 pares) e o número total de pares onde $Y^2=1$ (10 pares).
(E) Incorreta: O cálculo correto não resulta em 0,95.