Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 67)

O tempo até o $k$-ésimo evento em um processo de Poisson (onde os eventos ocorrem de forma independente e com uma taxa média constante) segue uma distribuição de Erlang. Para o segundo evento, $k=2$.

A) Incorreta: Esta é a função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial, que descreve o tempo até o primeiro evento (ou o tempo entre eventos consecutivos) em um processo de Poisson, não o segundo.
B) Incorreta: Esta função não corresponde a uma distribuição de probabilidade padrão para o tempo do segundo evento em um processo de Poisson.
C) Incorreta: Esta função não corresponde a uma distribuição de probabilidade padrão para o tempo do segundo evento em um processo de Poisson.
(D) Correta: Esta é a função de densidade de probabilidade da distribuição de Erlang com parâmetros $k=2$ (número de eventos) e $\lambda$ (taxa do processo de Poisson). A fórmula geral para a PDF da distribuição de Erlang($k, \lambda$) é $f(t) = \frac{\lambda^k t^{k-1} e^{-\lambda t}}{(k-1)!}$. Para $k=2$, temos $f(t) = \frac{\lambda^2 t^{2-1} e^{-\lambda t}}{(2-1)!} = \frac{\lambda^2 t e^{-\lambda t}}{1!} = \lambda^2 t e^{-\lambda t}$.
E) Incorreta: Esta função não corresponde a uma distribuição de probabilidade padrão para o tempo do segundo evento em um processo de Poisson; o expoente de $t$ está incorreto e faltaria um fator no denominador para ser uma Erlang(3, $\lambda$).