Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 68)

Um percentil $p(i)$ é o valor abaixo do qual uma certa porcentagem ($i\%$) dos dados ou da área da função de densidade de probabilidade (PDF) se encontra. Para uma distribuição uniforme, a probabilidade é distribuída igualmente em todo o intervalo $[a, b]$, o que significa que o percentil é uma proporção linear da amplitude do intervalo.

• (A) Correta: $a + (b-a)i\%$. Para uma distribuição uniforme $X \sim Uniforme(a, b)$, o $i$-ésimo percentil $p(i)$ é o valor tal que $P(X \le p(i)) = i/100$. A função de distribuição acumulada (CDF) é $F(x) = \frac{x-a}{b-a}$ para $a \le x \le b$. Igualando $F(p(i)) = \frac{p(i)-a}{b-a} = \frac{i}{100}$, isolamos $p(i)$: $p(i) - a = (b-a)\frac{i}{100}$, portanto $p(i) = a + (b-a)\frac{i}{100}$, ou $a + (b-a)i\%$.
• (B) Incorreta: $b + (b-a)i\%$. Esta expressão começaria do limite superior $b$ e adicionaria uma fração positiva da amplitude, o que resultaria em um valor maior que $b$ para qualquer $i > 0$, o que é impossível para um percentil dentro do intervalo $[a,b]$.
• (C) Incorreta: $a - (b-a)i\%$. Esta expressão começaria do limite inferior $a$ e subtrairia uma fração positiva da amplitude, o que resultaria em um valor menor que $a$ para qualquer $i > 0$, o que é impossível para um percentil dentro do intervalo $[a,b]$.
• (D) Incorreta: $b - (a-b)i\%$. Esta alternativa é uma armadilha. Note que $(a-b) = -(b-a)$. Substituindo, a expressão se torna $b - (-(b-a))i\% = b + (b-a)i\%$. Esta é idêntica à alternativa (B) e, portanto, incorreta pelo mesmo motivo: resultaria em um valor maior que $b$.
• (E) Incorreta: $b + \frac{b-a}{2}i\%$. Esta expressão, além de começar do limite superior $b$ (o que é incorreto para percentis que devem estar dentro do intervalo $[a,b]$), também inclui um fator de $1/2$ que não faz parte da fórmula correta para percentis de uma distribuição uniforme.