Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 66)

Quando calculamos a diferença entre as médias de duas amostras independentes ($\bar{X} - \bar{Y}$), essa diferença também segue uma distribuição normal (se as populações forem normais ou as amostras grandes), com sua própria média e desvio padrão. A média dessa diferença é a diferença das médias das populações ($\mu_X - \mu_Y$), e o desvio padrão (chamado erro padrão da diferença de médias) é a raiz quadrada da soma das variâncias das médias amostrais individuais ($\sqrt{\sigma_{\bar{X}}^2 + \sigma_{\bar{Y}}^2}$).

Para resolver o problema:

1. Média da diferença: As máquinas são reguladas para média de 5 kg, então $\mu_X = 5$ e $\mu_Y = 5$. A média da diferença $\bar{X} - \bar{Y}$ é $E[\bar{X} - \bar{Y}] = \mu_X - \mu_Y = 5 - 5 = 0$.
2. Variância da média amostral: Para cada máquina, o desvio padrão é $\sigma = 0.2$ e o tamanho da amostra é $n = 128$. A variância da média amostral para cada máquina é $\sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma_X^2}{n_X} = \frac{(0.2)^2}{128} = \frac{0.04}{128}$ e $\sigma_{\bar{Y}}^2 = \frac{\sigma_Y^2}{n_Y} = \frac{(0.2)^2}{128} = \frac{0.04}{128}$.
3. Variância da diferença de médias: Como as máquinas operam de forma independente, a variância da diferença é a soma das variâncias: $\sigma_{\bar{X}-\bar{Y}}^2 = \sigma_{\bar{X}}^2 + \sigma_{\bar{Y}}^2 = \frac{0.04}{128} + \frac{0.04}{128} = \frac{0.08}{128}$.
4. Desvio padrão da diferença de médias (Erro Padrão): $\sigma_{\bar{X}-\bar{Y}} = \sqrt{\frac{0.08}{128}} = \sqrt{\frac{1}{1600}} = \frac{1}{40} = 0.025$.
5. Padronização (Z-score): Queremos $Prob(-0.05 < \bar{X} - \bar{Y} < 0.05)$. Usamos a fórmula $Z = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - E[\bar{X} - \bar{Y}]}{\sigma_{\bar{X}-\bar{Y}}}$.
   • Limite inferior: $Z_1 = \frac{-0.05 - 0}{0.025} = -2$.
   • Limite superior: $Z_2 = \frac{0.05 - 0}{0.025} = 2$.
     Portanto, a probabilidade é $Prob(-2 < Z < 2)$.

(A) Incorreta: Implicaria um erro padrão da diferença de $0.05 / 2.5 = 0.02$, o que aconteceria se o tamanho da amostra fosse$n=200$em vez de$n=128. **(B) Correta:** O cálculo do erro padrão da diferença de médias resulta em \0.025$, e ao padronizar os limites de$\pm 0.05$, obtemos$Z = \pm 0.05 / 0.025 = \pm 2. **(C) Incorreta:** Implicaria um erro padrão da diferença de \0.05 / 1.25 = 0.04$, o que aconteceria se o tamanho da amostra fosse$n=50$em vez de$n=128. **(D) Incorreta:** Implicaria um erro padrão da diferença de \0.05 / 1 = 0.05$, o que aconteceria se o tamanho da amostra fosse$n=32$em vez de$n=128$. **(E) Incorreta:** A armadilha aqui é confundir o **desvio padrão da população** ($\sigma = 0.2$) com o **erro padrão da diferença de médias** ($\sigma_{\bar{X}-\bar{Y}}$). Se usasse$\sigma = 0.2 diretamente, o Z seria \0.05 / 0.2 = 0.25$. É um erro comum para quem esquece de considerar o tamanho da amostra e a combinação de variâncias.