Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 64)

A esperança matemática (ou valor esperado) de uma função de uma variável aleatória contínua é a média ponderada de todos os valores que essa função pode assumir, onde os "pesos" são dados pela função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória. Para calculá-la, integramos o produto da função pela f.d.p. sobre todo o domínio da variável.

• (A) Incorreta: Este valor corresponde apenas à primeira parte da integral (para $0 \le X < 1$), indicando que o cálculo não foi concluído ou a integral não foi dividida corretamente.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto da esperança de $h(X)$. O valor esperado de $X$ para uma uniforme $U(0,2)$ seria $(0+2)/2 = 1$, mas estamos calculando $E[h(X)]$, não $E[X]$.
• (C) Incorreta: Este valor corresponde apenas à segunda parte da integral (para $1 \le X \le 2$), indicando que o cálculo não foi concluído ou a integral não foi dividida corretamente.
• (D) Correta: Para calcular $E[h(X)]$, usamos a fórmula $E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x) f_X(x) dx$. A variável $X \sim Uniforme(0,2)$ tem f.d.p. $f_X(x) = \frac{1}{2-0} = \frac{1}{2}$ para $0 \le x \le 2$, e $0$caso contrário. A função$h(X)é definida em duas partes, então dividimos a integral: $$E[h(X)] = \int_{0}^{2} h(x) \cdot \frac{1}{2} dx = \int_{0}^{1} (1-x) \cdot \frac{1}{2} dx + \int_{1}^{2} x \cdot \frac{1}{2} dx\$$ Calculando a primeira parte: $$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1-x) dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left( (1 - \frac{1}{2}) - (0 - 0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}$$ Calculando a segunda parte: $$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{4}$$ Somando as duas partes:E[h(X)] = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
• (E) Incorreta: Este valor provavelmente resulta de algum erro algébrico ou de cálculo durante a integração ou avaliação dos limites.