Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 65)

O Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) é um método para encontrar o valor mais provável de um parâmetro de uma distribuição, dado um conjunto de dados; ele possui a propriedade de invariância, que significa que se $\hat{\theta}$ é o EMV para um parâmetro $\theta$, então o EMV para qualquer função $g(\theta)$ é simplesmente $g(\hat{\theta})$.

• Passo 1: Entender o que precisa ser estimado. A questão pede o EMV para $P(X>1)$.
• Passo 2: Expressar $P(X>1)$ em termos do parâmetro $p$.
  A distribuição geométrica dada é $P(X=x) = p(1-p)^{x-1}$.
  $P(X>1) = 1 - P(X=1)$.
  $P(X=1) = p(1-p)^{1-1} = p(1-p)^0 = p \times 1 = p$.
  Portanto, $P(X>1) = 1 - p$.
• Passo 3: Aplicar a propriedade de invariância do EMV.
  O problema informa que o EMV para $p$ é $\hat{p} = \frac{1}{\bar{X}}$.
  Como $P(X>1) = 1 - p$, e o EMV de $p$ é $\hat{p}$, o EMV de $P(X>1)$ será $1 - \hat{p}$.
  Substituindo $\hat{p}$, obtemos $1 - \frac{1}{\bar{X}}$.

(A) Incorreta: Esta expressão não corresponde ao cálculo de $P(X>1)$ em termos do EMV de $p$.
(B) Incorreta: Esta expressão não corresponde ao cálculo de $P(X>1)$ em termos do EMV de $p$.
(C) Incorreta: Esta é a expressão do EMV para o próprio parâmetro $p$, e não para a probabilidade $P(X>1)$. A pegadinha é que o enunciado já fornece o EMV de $p$, e o aluno pode se confundir e escolher essa opção sem aplicar a propriedade de invariância para a função $P(X>1)$.
(D) Correta: Conforme a propriedade de invariância dos EMVs, se o EMV para $p$ é $\frac{1}{\bar{X}}$ e $P(X>1) = 1-p$, então o EMV para $P(X>1)$ é $1 - \frac{1}{\bar{X}}$.
(E) Incorreta: Esta expressão não corresponde ao cálculo de $P(X>1)$ em termos do EMV de $p$.