Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 77)

A Distribuição de Poisson é um modelo matemático para contar quantas vezes um evento acontece em um período de tempo ou espaço fixo, quando a taxa média de ocorrência ($\lambda$) é conhecida.

• Conceito-chave: A Distribuição de Poisson descreve a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem em um intervalo fixo, sabendo a taxa média ($\lambda$) desses eventos. A média de uma distribuição de Poisson é igual à sua taxa ($\lambda$).

• Resolução:

  • A variável aleatória X (número de carros) segue uma distribuição de Poisson com taxa $\lambda = 2$.
  • A média da distribuição de Poisson é $\lambda = 2$.
  • Queremos calcular a probabilidade de X exceder a média, ou seja, $P(X > 2)$.
  • Como X é uma variável discreta que assume valores inteiros não negativos, $P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) + \dots$.
  • É mais fácil calcular usando o complemento: $P(X > 2) = 1 - P(X \le 2)$.
  • $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
  • A fórmula da probabilidade de Poisson é $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$.
  • Para $\lambda = 2$:
    • $P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = \frac{e^{-2} \cdot 1}{1} = e^{-2}$
    • $P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = \frac{e^{-2} \cdot 2}{1} = 2e^{-2}$
    • $P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = \frac{e^{-2} \cdot 4}{2} = 2e^{-2}$
  • Então, $P(X \le 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = (1+2+2)e^{-2} = 5e^{-2}$.
  • Finalmente, $P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - 5e^{-2}$.

• Análise das Alternativas:

  • (A) Correta: Esta é a resposta calculada, $1 - 5e^{-2}$.
  • (B) Incorreta: O sinal está incorreto; deveria ser uma subtração, não uma adição.
  • (C) Incorreta: Esta alternativa representa $P(X \le 2)$, que é a probabilidade de X ser menor ou igual à média, e não de excedê-la. Esta é uma armadilha comum para quem esquece de usar o complemento $1 - P(X \le k)$.
  • (D) Incorreta: O valor de $\lambda$ usado no expoente de 'e' e no cálculo dos termos está incorreto (0,5 em vez de 2).
  • (E) Incorreta: O valor de $\lambda$ usado está incorreto (0,5 em vez de 2) e a expressão não representa $1 - P(X \le k)$.