Questão de Economia · FGV TCE-ES 2022 (nº 77)

Outliers são pontos de dados que se desviam significativamente dos demais, sendo muito maiores ou muito menores que a maioria. O método IQR (Intervalo Interquartil) define esses pontos como aqueles que estão fora de um intervalo específico, calculado a partir dos quartis da distribuição.

Para uma distribuição normal com média $m$ e variância $v$ (portanto, desvio padrão $\sigma = \sqrt{v}$):

1. O primeiro quartil ($Q_1$) é o valor abaixo do qual 25% dos dados estão. Para a normal padrão $N(0,1)$, $Q_1 \approx -0,67$. Para uma normal $N(m, v)$, $Q_1 = m - 0,67 \sqrt{v}$.
2. O terceiro quartil ($Q_3$) é o valor abaixo do qual 75% dos dados estão. Pela simetria da distribuição normal, para $N(0,1)$, $Q_3 \approx +0,67$. Para $N(m, v)$, $Q_3 = m + 0,67 \sqrt{v}$.
3. O Intervalo Interquartil ($IQR$) é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil: $IQR = Q_3 - Q_1 = (m + 0,67 \sqrt{v}) - (m - 0,67 \sqrt{v}) = 2 \times 0,67 \sqrt{v}$.
4. Os limites para detecção de outliers são:
   • Limite Inferior ($L$) = $Q_1 - 1,5 \times IQR = (m - 0,67 \sqrt{v}) - 1,5 \times (2 \times 0,67 \sqrt{v}) = m - 0,67 \sqrt{v} - 3 \times 0,67 \sqrt{v} = m - 4 \times 0,67 \sqrt{v}$.
   • Limite Superior ($U$) = $Q_3 + 1,5 \times IQR = (m + 0,67 \sqrt{v}) + 1,5 \times (2 \times 0,67 \sqrt{v}) = m + 0,67 \sqrt{v} + 3 \times 0,67 \sqrt{v} = m + 4 \times 0,67 \sqrt{v}$.
5. Outliers são valores que estão abaixo de $L$ ou acima de $U$.

(A) Incorreta: Valores abaixo de $m – 0,67 \times \text{sqrt(v)}$ são simplesmente valores abaixo do primeiro quartil ($Q_1$), não necessariamente outliers, pois o limite inferior para outliers é $m - 4 \times 0,67 \sqrt{v}$, que é um valor menor.
(B) Correta: Valores acima de $m + 4 \times 0,67 \times \text{sqrt(v)}$ correspondem a valores acima do limite superior ($U$) calculado para outliers, conforme a regra do IQR.
(C) Incorreta: Valores acima de $m – 4 \times 0,67 \times \text{sqrt(v)}$ (que é o limite inferior $L$) não são outliers; na verdade, a maioria dos dados está acima de $L$. A armadilha aqui é usar o coeficiente correto (4 * 0,67) mas aplicá-lo ao limite inferior e pedir valores acima dele, o que confunde a condição de outlier.
(D) Incorreta: Valores abaixo de $m – 2 \times 0,67 \times \text{sqrt(v)}$ não são necessariamente outliers. O limite inferior para outliers é $m - 4 \times 0,67 \sqrt{v}$, que é um valor ainda menor.
(E) Incorreta: Valores acima de $m + 2 \times 0,67 \times \text{sqrt(v)}$ não são necessariamente outliers. O limite superior para outliers é $m + 4 \times 0,67 \sqrt{v}$, que é um valor ainda maior.