Questão de Ciências Atuariais · FGV TCE-ES 2022 (nº 70)

O valor presente de uma renda aleatória (ou anualidade) é a soma dos valores presentes esperados de cada pagamento, considerando a probabilidade de o indivíduo estar vivo para recebê-los e o desconto financeiro. As funções de comutação ($D_x, N_x, S_x$) são ferramentas atuariais que simplificam o cálculo desses valores presentes, agregando as probabilidades de sobrevivência e os fatores de desconto.

• (A) Correta: A contribuição à vista é a soma do valor presente da renda crescente temporária e do valor presente da renda constante vitalícia diferida.

  1. Renda crescente temporária (n anos): Os pagamentos anuais postecipados são $R_0, R_0+0.02R_0, R_0+2(0.02R_0), \dots, R_0+(n-1)0.02R_0$. O valor presente dessa renda é dado por:
     $PV_1 = \frac{1}{D_x} \sum_{k=1}^{n} (R_0 + (k-1)0.02R_0) D_{x+k}$
     $PV_1 = R_0 \frac{1}{D_x} \sum_{k=1}^{n} D_{x+k} + 0.02R_0 \frac{1}{D_x} \sum_{k=1}^{n} (k-1)D_{x+k}$
     PV_1 = R_0 \frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_x} + 0.02R_0 \frac{S_{x+2}-S_{x+n+1}-(n-1)N_{x+n+1}}{D_x}\
  2. Renda constante vitalícia diferida: Começa após $n$ anos e tem valor igual ao último recebimento da renda crescente, que é $R_n = R_0 + (n-1)0.02R_0 = R_0(1+0.02(n-1))$. O valor presente dessa renda é:
     PV_2 = R_0(1+0.02(n-1)) \frac{N_{x+n+1}}{D_x}\
  3. Valor total: Somando $PV_1$ e $PV_2$:
     $PV_{Total} = R_0 \frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_x} + 0.02R_0 \frac{S_{x+2}-S_{x+n+1}-(n-1)N_{x+n+1}}{D_x} + R_0(1+0.02(n-1)) \frac{N_{x+n+1}}{D_x}$
     Agrupando os termos com $N_{x+n+1}$:
     $\frac{N_{x+n+1}}{D_x} [-R_0 - 0.02R_0(n-1) + R_0(1+0.02(n-1))]$
     $= \frac{N_{x+n+1}}{D_x} [-R_0 - 0.02R_0n + 0.02R_0 + R_0 + 0.02R_0n - 0.02R_0] = 0$
     Assim, os termos com $N_{x+n+1}$ se cancelam, resultando em:
     $PV_{Total} = R_0 \frac{N_{x+1}}{D_x} + 0.02R_0 \frac{S_{x+2}-S_{x+n+1}}{D_x}$.

• (B) Incorreta: O valor do último recebimento da renda crescente é $R_0(1+0.02(n-1))$, não $R_0(1+0.02n)$. Esse erro impede o cancelamento dos termos $N_{x+n+1}$.

• (C) Incorreta: O termo $S_{x+1}$ na segunda parte da expressão está incorreto. A soma para a parte crescente da renda começa a partir de $D_{x+2}$, o que leva a $S_{x+2}$.

• (D) Incorreta: Apresenta múltiplos erros: o termo $S_{x+1}$ está incorreto, o coeficiente de $N_{x+n+1}$ na segunda parte deveria ser $(n-1)$ e o valor do último recebimento da renda crescente está incorreto ($R_0(1+0.02n)$).

• (E) Incorreta: O valor do último recebimento da renda crescente é $R_0(1+0.02(n-1))$, não $R_0(1+0.02n)$. Esta é a armadilha da banca: a primeira parte da expressão (relativa à renda crescente temporária) está correta, mas o valor da renda vitalícia subsequente é calculado incorretamente, usando $R_0(1+0.02n)$ em vez de $R_0(1+0.02(n-1))$. Isso impede o cancelamento dos termos $N_{x+n+1}$ que ocorre na solução correta.