Questão de Ciências Atuariais · FGV TCE-ES 2022 (nº 64)

Em decrementos múltiplos, um indivíduo pode sair de um estado (como estar vivo ou empregado) por várias causas diferentes. A força instantânea de decremento ($\mu_x^{(j)}$) é a taxa instantânea na qual um indivíduo de idade $x$ experimenta o decremento $j$. A probabilidade de decremento ($q_x^{(j)}$) é a chance de um indivíduo de idade $x$ sofrer o decremento $j$ dentro de um ano, considerando que ele está exposto a todos os decrementos.

• (A) Correta: A probabilidade de um indivíduo experimentar o decremento $j$ dentro de um ano, quando as forças de decremento são constantes ao longo do período, é dada pela fórmula $q_x^{(j)} = \frac{\mu_x^{(j)}}{\mu_x^{(\tau)}} (1 - e^{-\mu_x^{(\tau)}})$, onde $\mu_x^{(\tau)}$ é a soma de todas as forças de decremento. No problema, $\mu_x^{(1)} = 0.2$, $\mu_x^{(2)} = 0.3$ e $\mu_x^{(3)} = 0.5$. Assim, a força total é $\mu_x^{(\tau)} = 0.2 + 0.3 + 0.5 = 1.0$. Substituindo na fórmula para $q_x^{(2)}$, temos $q_x^{(2)} = \frac{0.3}{1.0} (1 - e^{-1.0}) = 0.3 (1 - e^{-1})$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa apresenta $0.3 \times e^{-1}$. O termo $e^{-1}$ representa a probabilidade de sobreviver a todos os decrementos por um ano ($p_x^{(\tau)}$), e multiplicá-lo pela força de decremento específica não resulta na probabilidade $q_x^{(2)}$.
• (C) Incorreta: Esta alternativa, $0.3$, assume que a probabilidade de decremento$q_x^{(2)}$é simplesmente igual à sua força instantânea$\mu_x^{(2)}$. Esta é uma **armadilha comum** (pegadinha), pois a força instantânea é uma taxa e não uma probabilidade direta para um período de um ano, especialmente quando há outros decrementos concorrendo. A probabilidade$q_x^{(j)}$ deve levar em conta a concorrência de todos os decrementos ao longo do ano.
• (D) Incorreta: Esta alternativa, $e^{0.3} - 1$, não corresponde a nenhuma fórmula padrão para probabilidades de decremento em modelos atuariais.
• (E) Incorreta: Esta alternativa, $1 - e^{-1}$, representa a probabilidade total de experimentar qualquer decremento no período de um ano, ou seja, $q_x^{(\tau)} = 1 - e^{-\mu_x^{(\tau)}}$. Embora seja um componente da fórmula correta, não é a probabilidade específica do decremento 2.