No Regime Financeiro de Capitalização, existem diversas formas de distribuição do custo do benefício ao longo dos anos do participante, definindo, assim, o método de custeio. A opção que apresenta corretamente o valor da Provisão Matemática de Benefícios a Conceder pelo método de idade normal de entrada ou entrada à idade normal é: Notações: - w é a idade de entrada do participante; - x é a idade atual do participante; - y é a idade de aposentadoria do participante; - t é o tempo de vigência decorrido; - B é o benefício de aposentadoria do participante; - S é o salário de contribuição do participante; - VPB é o valor presente atuarial dos benefícios futuros do plano; - VPS é o valor presente atuarial dos salários de contribuição do plano; - A é o ativo garantidor do plano. ---

A) 𝐵 ∗ 𝑥−𝑤 𝑦−𝑤 ∗𝑦−𝑥 𝑝𝑥 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑦 ∗ (1 + 𝑖) 𝑥−𝑦 ;

B) 𝐵 ∗𝑦−𝑥 𝑝𝑥 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑦 ∗ (1 + 𝑖) 𝑥−𝑦 − 𝐵 ∗ 𝑦−𝑤𝑝𝑤 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑦 ∗ (1 + 𝑖) 𝑤−𝑦 ∑ 𝑆 ∗ 𝑧−𝑤 𝑝𝑤 𝑎𝑎 ∗ (1 + 𝑖) 𝑦−1 𝑤−𝑧 𝑧=𝑤 ∗ ∑𝑆 ∗ 𝑧−𝑥 𝑝𝑥 𝑎𝑎 ∗ (1 + 𝑖) 𝑥−𝑧 𝑦−1 𝑧=𝑥 ;

C) 𝐵 ∗ 𝑥−𝑤 𝑦−𝑤 ∗𝑦−𝑥 𝑝𝑥 𝑎𝑖 ∗ 𝑎𝑦 ∗ (1 + 𝑖) 𝑥−𝑦 ;

D) 𝐵 ∗ 𝑦−𝑤𝑝𝑤 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑦∗(1+𝑖) 𝑤−𝑦 − At ∑ 𝑆 ∗𝑧−𝑤 𝑝𝑤 𝑎𝑎 𝑦−1 ∗ (1+𝑖)𝑤−𝑧 𝑧=𝑤 ;

Questão nº 69

Questão de Ciências Atuariais · FGV TCE-ES 2022 (nº 69)

FGV2022Auditor de Controle Externo - Ciências AtuariaisCiências Atuariais

Gabarito: Aver comentário ↓

No Regime Financeiro de Capitalização, existem diversas formas de distribuição do custo do benefício ao longo dos anos do participante, definindo, assim, o método de custeio. A opção que apresenta corretamente o valor da Provisão Matemática de Benefícios a Conceder pelo método de idade normal de entrada ou entrada à idade normal é:

Notações:

$w$ é a idade de entrada do participante;
$x$ é a idade atual do participante;
$y$ é a idade de aposentadoria do participante;
$t$ é o tempo de vigência decorrido;
$B$ é o benefício de aposentadoria do participante;
$S$ é o salário de contribuição do participante;
$VPB$ é o valor presente atuarial dos benefícios futuros do plano;
$VPS$ é o valor presente atuarial dos salários de contribuição do plano;
$A$ é o ativo garantidor do plano.

Figura da questão de Ciências Atuariais

A𝐵 ∗ 𝑥−𝑤 𝑦−𝑤 ∗𝑦−𝑥 𝑝𝑥 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑦 ∗ (1 + 𝑖) 𝑥−𝑦 ; (alternativa correta)
B𝐵 ∗𝑦−𝑥 𝑝𝑥 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑦 ∗ (1 + 𝑖) 𝑥−𝑦 − 𝐵 ∗ 𝑦−𝑤𝑝𝑤 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑦 ∗ (1 + 𝑖) 𝑤−𝑦 ∑ 𝑆 ∗ 𝑧−𝑤 𝑝𝑤 𝑎𝑎 ∗ (1 + 𝑖) 𝑦−1 𝑤−𝑧 𝑧=𝑤 ∗ ∑𝑆 ∗ 𝑧−𝑥 𝑝𝑥 𝑎𝑎 ∗ (1 + 𝑖) 𝑥−𝑧 𝑦−1 𝑧=𝑥 ;
C𝐵 ∗ 𝑥−𝑤 𝑦−𝑤 ∗𝑦−𝑥 𝑝𝑥 𝑎𝑖 ∗ 𝑎𝑦 ∗ (1 + 𝑖) 𝑥−𝑦 ;
D𝐵 ∗ 𝑦−𝑤𝑝𝑤 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑦∗(1+𝑖) 𝑤−𝑦 − At ∑ 𝑆 ∗𝑧−𝑤 𝑝𝑤 𝑎𝑎 𝑦−1 ∗ (1+𝑖)𝑤−𝑧 𝑧=𝑤 ;
E

Resposta comentada

Gabarito Alternativa A

O conceito-chave da Provisão Matemática de Benefícios a Conceder (ou reserva atuarial) pelo Método de Idade Normal de Entrada é determinar o valor acumulado necessário para pagar os benefícios futuros de um participante, distribuindo o custo de forma sistemática ao longo de sua vida ativa. Embora o método de Idade Normal de Entrada (Entry Age Normal) tradicionalmente calcule uma contribuição anual nivelada, a reserva pode ser vista como a parcela do benefício total que já foi "ganha" ou "financiada" até a idade atual do participante.

Vamos analisar as alternativas:

(A) Correta: $B * \frac{x-w}{y-w} * _{y-x}p_x^{aa} * a_y * (1 + i)^{x-y}$ . Esta fórmula representa a Provisão Matemática de Benefícios a Conceder como a parcela proporcional do valor presente do benefício total. O termo $\frac{x-w}{y-w}$ indica a fração do tempo de serviço já decorrido (do ingresso $w$ à idade atual $x$ ) em relação ao tempo total de serviço esperado (do ingresso $w$ à aposentadoria $y$ ). Multiplica-se essa fração pelo valor presente atuarial do benefício total $B$ na idade atual $x$ , que é dado por $B * _{y-x}p_x^{aa} * a_y * (1 + i)^{x-y}$ . Este último termo calcula o valor presente na idade $x$ do benefício $B$ (que começa a ser pago na idade $y$ , considerando a probabilidade de sobrevivência ativa e o fator de anuidade na aposentadoria). Esta é uma forma comum de calcular a reserva atuarial (ou passivo atuarial) quando o benefício é considerado como acumulado linearmente ao longo do período de serviço, muitas vezes associada ao método de Crédito Unitário Projetado, mas pode ser uma interpretação válida para a reserva sob o método de Idade Normal de Entrada em certos contextos.
(B) Incorreta: A fórmula é excessivamente complexa e mal estruturada, combinando termos de valor presente de benefícios e somatórios de salários de forma não padronizada para o cálculo da reserva.
(C) Incorreta: $B * \frac{x-w}{y-w} * _{y-x}p_x^{ai} * a_y * (1 + i)^{x-y}$ . É similar à alternativa A, mas utiliza $p_x^{ai}$ (probabilidade de sobrevivência de vida inativa ou inválida) em vez de $p_x^{aa}$ (probabilidade de sobrevivência de vida ativa). Para um participante que está ativo e ainda acumulando serviço, a probabilidade de sobrevivência de vida ativa ( $p_x^{aa}$ ) é a correta.
(D) Incorreta: $B * _{y-w}p_w^{aa} * a_y*(1+i)^{w-y} - At \sum S *_{z-w}p_w^{aa} ^{y-1} * (1+i)^{w-z}_{z=w}$ . Esta fórmula tenta subtrair o valor presente de contribuições do valor presente do benefício na idade de entrada, mas a notação e a estrutura do segundo termo são inconsistentes com as fórmulas padrão de reservas atuariais.
(E) Incorreta: $V_x = \frac{VPB_w}{VPS_w} \cdot \sum_{z=w}^{x-1} S_z \cdot (1+i)^{x-z} \cdot _{x-z}p_z^{aa}$ . Esta é uma fórmula padrão para a reserva retrospectiva pelo método de Idade Normal de Entrada (quando o custo normal é uma porcentagem do salário). Ela calcula o valor acumulado das contribuições passadas (salário multiplicado pela taxa de custo normal) até a idade atual $x$ . Embora seja uma fórmula válida para o método, o gabarito oficial indica a alternativa A como correta, sugerindo que a questão busca uma interpretação específica da reserva, possivelmente a parcela do benefício total já "ganha" proporcionalmente ao tempo de serviço. A armadilha aqui é que, apesar de ser uma formulação correta e comum para o método, não é a resposta esperada pela banca.

Fonte: FGV TCE-ES 2022 Auditor de Controle Externo - Ciências Atuariais (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Ciências Atuariais · FGV TCE-ES 2022 (nº 69)

Resposta comentada

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