Questão de Economia · FGV STN 2024 (nº 62)

Retornos de escala descrevem como a produção total (output) de uma empresa se altera quando todos os seus insumos (inputs) são aumentados proporcionalmente. Se a produção aumenta na mesma proporção dos insumos, temos retornos constantes a escala.

(A) Incorreta: Para $f(x, y) = xy$, ao multiplicar os insumos por $t$, temos $f(tx, ty) = (tx)(ty) = t^2 xy = t^2 f(x, y)$. Como o fator é $t^2$ (e não $t$), a função apresenta retornos crescentes a escala (grau de homogeneidade 2).

(B) Correta: Para $f(x, y) = x + y$, ao multiplicar os insumos por $t$, temos $f(tx, ty) = tx + ty = t(x + y) = t f(x, y)$. Como a produção aumenta exatamente na mesma proporção $t$, a função apresenta retornos constantes a escala (grau de homogeneidade 1).

(C) Incorreta: Para $f(x, y) = (xy)^{1/2}+k$, com $k > 0$. Ao multiplicar os insumos por $t$, temos $f(tx, ty) = ((tx)(ty))^{1/2} + k = (t^2 xy)^{1/2} + k = t(xy)^{1/2} + k$. Para ter retornos constantes, precisaríamos que $f(tx, ty) = t f(x, y) = t((xy)^{1/2}+k) = t(xy)^{1/2} + tk$. Como $k \neq tk$ para $t > 1$ e $k > 0$, a função não é homogênea e, especificamente, $t(xy)^{1/2} + k < t(xy)^{1/2} + tk$, indicando retornos decrescentes a escala. Armadilha da banca: A parte $(xy)^{1/2}$ sozinha teria retornos constantes, mas a adição de uma constante $k>0$ torna a função não-homogênea e, portanto, não exibe retornos constantes a escala.

(D) Incorreta: Uma função homogênea de grau $k$ significa que $f(tx, ty) = t^k f(x, y)$. Para ter retornos constantes a escala, o grau de homogeneidade $k$ deve ser exatamente 1. A opção afirma que $k > 0$, o que pode incluir $k=1$ (constantes), $k>1$ (crescentes) ou $0<k<1$ (decrescentes). Portanto, não garante retornos constantes a escala.

(E) Incorreta: Para $f(x, y) = (xy)^{1/4}$, que pode ser reescrita como $x^{1/4}y^{1/4}$. Ao multiplicar os insumos por $t$, temos $f(tx, ty) = ((tx)(ty))^{1/4} = (t^2 xy)^{1/4} = t^{2/4} (xy)^{1/4} = t^{1/2} f(x, y)$. Como o fator é $t^{1/2}$ (e não $t$), a função apresenta retornos decrescentes a escala (grau de homogeneidade 1/2).