Questão de Estatística · FGV STN 2024 (nº 39)

Conceito-chave: Um bom estimador deve ser não tendencioso (acertar em média o valor real), ter variância mínima (ser preciso) e usar bem a informação da amostra. Para a média de uma normal, a média amostral $\bar{X}$ é o "melhor" estimador possível, pois ela é não tendenciosa, tem a menor variância entre todos os estimadores não tendenciosos, é a que maximiza a verossimilhança e resume toda a informação relevante da amostra (suficiência).

• (A) Incorreta: A afirmativa I é verdadeira, mas não é a única correta, pois II e III também são verdadeiras.
• (B) Incorreta: A afirmativa II é verdadeira, mas a I e a III também são, então a resposta não pode ser só I e II.
• (C) Incorreta: A afirmativa III é verdadeira, mas a II também é, então a resposta não pode ser só I e III.
• (D) Incorreta: A afirmativa II e III são verdadeiras, mas a I também é, então a resposta não pode ser só II e III.
• (E) Correta: Pelo Teorema de Lehmann-Scheffé, $\bar{X}$ é não tendencioso e suficiente, e como é função completa de uma estatística suficiente, é o estimador não tendencioso de variância uniformemente mínima (ENVUM). Além disso, para a normal, a função de verossimilhança é maximizada exatamente em $\bar{X}$, então ela é o estimador de máxima verossimilhança (EMV). Portanto, I, II e III estão corretas.

Armadilha da banca (no distrator mais tentador, a letra D): A pegadinha está em achar que a afirmativa I é falsa, porque o aluno confunde "variância uniformemente mínima" com "ter que usar um estimador diferente de $\bar{X}$". Na verdade, para a normal, $\bar{X}$ é o ENVUM, pois atinge o limite inferior de Cramér-Rao. Quem marca D geralmente sabe que $\bar{X}$ é EMV e suficiente, mas esquece que, no caso específico da distribuição normal, ela também é o estimador de menor variância entre todos os não tendenciosos.