Questão de Estatística · FGV STN 2024 (nº 40)

Conceito-chave: O coeficiente de correlação mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis, variando de $-1$ a $1$. Ele é calculado como$\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var[X] \cdot Var[Y]}}$, onde a **covariância** é$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$ — ou seja, o quanto elas variam juntas além do produto das médias.

• (A) Incorreta: Daria $-1/2$ se a covariância fosse $-3$, mas aqui $Cov(X,Y) = 18 - 5 \cdot 4 = -2$, e $\sqrt{4 \cdot 9} = 6$, logo $\rho = -2/6 = -1/3$.
• (B) Correta: Com $Cov(X,Y) = -2$ e desvio padrão conjunto $6$, temos$\rho = -2/6 = -1/3$. A correlação negativa indica que, em média, quando$X$aumenta,$Y$ tende a diminuir, mas de forma fraca.
• (C) Incorreta: Seria $0$se$E[XY] = E[X]E[Y] = 20, mas o valor dado é \18$, gerando covariância negativa, não nula.
• (D) Incorreta: Confunde o sinal: a covariância é negativa ($-2$), então a correlação não pode ser positiva. O aluno que esquece de subtrair $E[X]E[Y]$ antes de dividir cai aqui.
• (E) Incorreta: A armadilha da banca está em inverter a ordem: se o aluno calcular $E[XY] - E[X]E[Y] = -2$ e depois dividir por $Var[X]+Var[Y] = 13$, obtém aproximadamente $-0,15$; ou se esquecer de tirar a raiz quadrada das variâncias, faz $-2/(4+9) = -2/13$, e nenhum desses erros leva a $1/2. O valor \1/2$só apareceria se a covariância fosse$+3$, o que não ocorre.