Questão de Matemática Financeira · FGV SMF-RJ APO 2023 - Tarde (P2) (nº 53)

Para calcular o valor que Joana precisa acumular, usamos o conceito de perpetuidade crescente, que é uma série de pagamentos que crescem a uma taxa constante e continuam indefinidamente. O valor presente dessa perpetuidade representa a quantia necessária hoje para gerar esses pagamentos futuros.

A fórmula para o Valor Presente (VP) de uma perpetuidade crescente é:
$VP = \frac{PMT_1}{i - g}$
Onde:

• $PMT_1$ é o valor do primeiro pagamento (renda inicial).
• $i$ é a taxa de juros por período.
• $g$ é a taxa de crescimento dos pagamentos por período.

Dados do problema:

• PMT_1 = R\ 12.000,00$ (renda nominal bruta mensal inicial)
• $i = 1,5\%$ ao mês $= 0,015$
• $g = 0,5\%$ ao mês $= 0,005$

Substituindo na fórmula:
$VP = \frac{12.000}{0,015 - 0,005}$
$VP = \frac{12.000}{0,010}$
$VP = 1.200.000$

Portanto, Joana precisará acumular R$ 1.200.000,00.

(A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da perpetuidade crescente.
(B) Incorreta: Este valor seria obtido se a taxa de crescimento fosse somada à taxa de juros no denominador ($12.000 / (0,015 + 0,005) = 12.000 / 0,020 = 600.000$), o que é um erro comum na aplicação da fórmula. **(C) Incorreta:** Esta é a armadilha da banca. Este valor seria obtido se a renda não tivesse crescimento ($g=0), ou seja, \12.000 / 0,015 = 800.000. Ignorar o crescimento da renda é um erro frequente em questões de perpetuidade crescente. **(D) Correta:** O valor de R\ 1.200.000,00 é o resultado da aplicação correta da fórmula do valor presente de uma perpetuidade crescente, onde a taxa de crescimento é subtraída da taxa de juros no denominador.
(E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da perpetuidade crescente.