Questão nº 58

Questão de Matemática · FGV SME-SP EFII e Médio 2023 (nº 58)

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Considere a igualdade $\sqrt{x^2 + y^2} = x + y$ , na qual $x$ e $y$ são números reais.

Sobre essa igualdade é correto concluir que

Asempre é verdadeira.
Bnunca é verdadeira.
Cé verdadeira se, e somente se, $x + y \ge 0$ .
Dé verdadeira se, e somente se, $x \ge 0$ e $y \ge 0$ .
Eé verdadeira se, e somente se, $xy = 0$ e $x + y \ge 0$ . (alternativa correta)

Resposta comentada

Gabarito Alternativa E

(A) Incorreta: falha, por exemplo, para $x=y=1$ : $\sqrt{2}\neq2$ .
(B) Incorreta: vale, por exemplo, para $x=0,\,y=3$ : $\sqrt{9}=3$ .
(C) Incorreta: $x+y\ge0$ não basta (ex.: $x=y=1$ tem soma positiva e a igualdade falha).
(D) Incorreta: $x,y\ge0$ não basta (ex.: $x=y=1$ ).
(E) Correta: elevando ao quadrado (exige $x+y\ge0$ ): $x^2+y^2=x^2+2xy+y^2\Rightarrow 2xy=0\Rightarrow xy=0$ ; portanto vale se, e somente se, $xy=0$ e $x+y\ge0$ .

Fonte: FGV SME-SP EFII e Médio 2023 Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.