Questão nº 33
Questão de Matemática · FGV SME-SP EFII e Médio 2023 (nº 33)
Consideremos um mapeamento T no plano que associa cada ponto p a um ponto p', T: p → p'. O par de mapeamentos T, T': p → p', p' → p no qual um é inverso do outro, de tal modo que se T leva p a p', então T' leva p' de volta a p e vice-versa, é conhecido como uma transformação no plano. As transformações que preservam as dimensões são chamadas de isomorfismos. Por exemplo, a simetria bilateral é obtida por uma reflexão em torno de um eixo. Além da reflexão, as translações e as rotações descrevem tipos de simetria que algumas figuras geométricas possuem.
O pentagrama abaixo foi usado por Dr. Fausto, ser mitológico nas obras clássicas do poeta alemão Johannn Wolfgang Goethe (1749-1832), para banir Mefistófeles, o diabo. Essa é apenas uma das histórias que envolvem o simbolismo do pentagrama que, indiscutivelmente, tem seus mistérios e sua beleza descrita por leis matemáticas.
As afirmativas a seguir, acerca do pentagrama, estão corretas, à exceção de uma. Assinale-a.
- APossui 5 eixos de simetria bilateral.
- BHá 4 rotações com centro em O que levam o pentagrama a ele mesmo. (alternativa correta)
- CSão 10 as transformações no plano que descrevem o tipo de simetria que o pentagrama possui.
- DÉ possível obter um pentagrama simétrico ao original fazendo rotações em torno de O de ângulos múltiplos de 360º/5.
- EOs eixos de simetria bilateral passam, necessariamente, pelos vértices do pentagrama.
Resposta comentada
Gabarito Alternativa B
- (A) Incorreta (afirmativa verdadeira): o pentagrama regular possui de fato 5 eixos de simetria bilateral, logo não é a exceção.
- (B) Correta (alternativa mais defensável / anulada): a banca anulou a questão; o motivo provável é a ambiguidade na contagem das rotações — considerando as rotações que levam o pentagrama a si mesmo, há 5 (incluindo a de 360º) ou 4 (excluindo a identidade). O valor "4" conflita com a alternativa (C), que só chega a 10 transformações contando 5 rotações + 5 reflexões, tornando mais de uma leitura defensável.
- (C) Incorreta (afirmativa verdadeira): o grupo de simetria é o diedral , com 10 elementos (5 rotações + 5 reflexões).
- (D) Incorreta (afirmativa verdadeira): rotações de múltiplos de 360º/5=72º levam o pentagrama nele mesmo.
- (E) Incorreta (afirmativa verdadeira): cada eixo de simetria passa por uma ponta (vértice) do pentagrama e pela reentrância oposta.
Fonte: FGV SME-SP EFII e Médio 2023 Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.