Questão nº 52

Questão de Matemática · FGV SME-SP EFII e Médio 2023 (nº 52)

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Sabe-se que a soma dos cubos das raízes da equação $x^2 + mx + n = 0$ , onde $m$ e $n$ são reais, é 63.

É correto afirmar que $n$ é igual a

Resposta comentada

Gabarito Alternativa C

(A) Incorreta: não isola $n$ a partir da relação dos cubos.
(B) Incorreta: os denominadores 2 e o termo $\frac{63}{m}$ não decorrem de $-m^3+3mn=63$ .
(C) Correta: para raízes $r,s$ : $r+s=-m$ e $rs=n$ . Então $r^3+s^3=(r+s)^3-3rs(r+s)=-m^3+3mn=63$ . Logo $3mn=m^3+63\Rightarrow n=\dfrac{m^3+63}{3m}=\dfrac{m^2}{3}+\dfrac{21}{m}$ .
(D) Incorreta: mantém $m^3$ sem dividir por $3m$.
(E) Incorreta: troca $\frac{21}{m}$ por $21 $, perdendo o termo em$ m^{-1}$.

Fonte: FGV SME-SP EFII e Médio 2023 Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.