Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 26)

A inferência estatística nos permite estimar características de uma população (como a proporção de eleitores que votariam em um candidato) a partir de uma amostra (um subconjunto dessa população). Um intervalo de confiança é uma faixa de valores dentro da qual esperamos que a verdadeira proporção da população se encontre, com um certo nível de certeza (neste caso, 95%).

Para calcular o intervalo de confiança para uma proporção, usamos a fórmula:
$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

Onde:

• $\hat{p}$ é a proporção amostral.
• $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado (para 95%, $Z_{\alpha/2} = 1,96$).
• $n$ é o tamanho da amostra.

Dados do problema:

• Tamanho da amostra ($n$) = 1.600
• Número de eleitores que votariam em X ($x$) = 800
• Nível de confiança = 95%
• Valor $Z_{\alpha/2}$ = 1,96

1. Calcular a proporção amostral ($\hat{p}$):
   \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{800}{1600} = 0,5\

2. Calcular o erro padrão da proporção (EP):
   EP = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,5(1-0,5)}{1600}} = \sqrt{\frac{0,5 \times 0,5}{1600}} = \sqrt{\frac{0,25}{1600}} = \sqrt{0,00015625} = 0,0125\

3. Calcular a margem de erro (ME):
   ME = Z_{\alpha/2} \times EP = 1,96 \times 0,0125 = 0,0245\

4. Construir o intervalo de confiança:
   Intervalo = $\hat{p} \pm ME = 0,5 \pm 0,0245$
   Limite inferior = $0,5 - 0,0245 = 0,4755 Limite superior = \0,5 + 0,0245 = 0,5245$O intervalo é$(0,4755; 0,5245)$.

Como a questão pede um valor "aproximadamente dado por" e as alternativas são arredondadas, a alternativa mais próxima e que pode ser obtida arredondando a margem de erro para 0,025 (o que é comum em questões de múltipla escolha para simplificar) é:
$0,5 \pm 0,025 = (0,475; 0,525)$.

(A) Incorreta: O intervalo (0,45; 0,55) implica uma margem de erro de 0,05, que é muito maior que a calculada (0,0245).
(B) Incorreta: O intervalo (0,465; 0,535) implica uma margem de erro de 0,035, que é diferente da calculada.
(C) Incorreta: O intervalo (0,468; 0,532) implica uma margem de erro de 0,032, que é diferente da calculada.
(D) Incorreta: O intervalo (0,471; 0,529) implica uma margem de erro de 0,029, que é diferente da calculada.
(E) Correta: O intervalo (0,475; 0,525) é o resultado mais próximo do cálculo $(0,4755; 0,5245)$. A margem de erro calculada de 0,0245 é arredondada para 0,025, resultando nos limites $0,5 - 0,025 = 0,475 e \0,5 + 0,025 = 0,525$. A "pegadinha" aqui seria não considerar o arredondamento da margem de erro ou dos limites para corresponder às opções.