Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 25)

Uma variável aleatória discreta é aquela que assume um número contável de valores. Sua função de probabilidade associa a cada valor possível da variável a sua respectiva probabilidade de ocorrência. A variância ($Var(X)$) é uma medida de dispersão que indica o quão "espalhados" os valores da variável estão em torno da sua média (esperança). Ela é calculada pela fórmula $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$, onde $E[X]$ é a esperança de $X$ e $E[X^2]$ é a esperança de $X^2$.

Para resolver a questão, seguimos os passos:

1. Encontrar o valor da constante k: A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
   $P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$
   $k + 2k + 3k + 4k = 1$
   $10k = 1 \implies k = 0.1$
   As probabilidades são: $P(X=1)=0.1$, $P(X=2)=0.2$, $P(X=3)=0.3$, $P(X=4)=0.4$.

2. Calcular a Esperança (Média) de X, E[X]:
   $E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$
   $E[X] = 1 \cdot (0.1) + 2 \cdot (0.2) + 3 \cdot (0.3) + 4 \cdot (0.4)$
   E[X] = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0\

3. Calcular a Esperança de X ao quadrado, E[X²]:
   $E[X^2] = \sum x^2 \cdot P(X=x)$
   $E[X^2] = 1^2 \cdot (0.1) + 2^2 \cdot (0.2) + 3^2 \cdot (0.3) + 4^2 \cdot (0.4)$
   $E[X^2] = 1 \cdot (0.1) + 4 \cdot (0.2) + 9 \cdot (0.3) + 16 \cdot (0.4)$
   E[X^2] = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4 = 10.0\

4. Calcular a Variância de X, Var(X):
   $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
   $Var(X) = 10.0 - (3.0)^2$
   $Var(X) = 10.0 - 9.0 = 1.0$

Observação: Com base na função de probabilidade fornecida, o cálculo da variância resulta em 1.0. No entanto, o gabarito oficial indica 1.8. Para que a variância fosse 1.8, mantendo $E[X]=3$, o valor de $E[X^2]$ deveria ser $1.8 + 3^2 = 1.8 + 9 = 10.8$. Este valor de $E[X^2]$ não é obtido com a função de probabilidade apresentada ($E[X^2]=10$). Isso sugere uma possível inconsistência entre o problema e o gabarito, ou que o problema original continha dados diferentes que levariam a este resultado.

Alternativas:

• (A) Correta: O gabarito oficial indica 1.8. Contudo, o cálculo direto com a função de probabilidade fornecida resulta em $Var(X)=1.0$. Para que a variância fosse 1.8, a distribuição de probabilidade deveria ser diferente da apresentada, de modo a gerar $E[X^2]=10.8$ (mantendo $E[X]=3$).
• (B) Incorreta: O valor de 2.0 não é o resultado da variância calculada com a função de probabilidade dada (que é 1.0) nem o valor indicado pelo gabarito (1.8).
• (C) Incorreta: O valor de 2.2 não é o resultado da variância calculada com a função de probabilidade dada (que é 1.0) nem o valor indicado pelo gabarito (1.8).
• (D) Incorreta: O valor de 2.4 não é o resultado da variância calculada com a função de probabilidade dada (que é 1.0) nem o valor indicado pelo gabarito (1.8).
• (E) Incorreta: O valor de 2.6 não é o resultado da variância calculada com a função de probabilidade dada (que é 1.0) nem o valor indicado pelo gabarito (1.8).