Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 24)

A média (ou esperança matemática) de uma variável aleatória discreta é o valor médio que esperamos obter se repetirmos o experimento muitas vezes. Ela é calculada somando cada valor possível da variável ($x$) multiplicado pela sua respectiva probabilidade ($P(X=x)$), ou seja, $E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$.

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $k$. A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
$P(X=-2) = k \cdot ((-2)^2 - 1) = k \cdot (4 - 1) = 3k$
$P(X=-1) = k \cdot ((-1)^2 - 1) = k \cdot (1 - 1) = 0$
$P(X=0) = k \cdot ((0)^2 - 1) = k \cdot (0 - 1) = -k$
$P(X=1) = k \cdot ((1)^2 - 1) = k \cdot (1 - 1) = 0$
$P(X=2) = k \cdot ((2)^2 - 1) = k \cdot (4 - 1) = 3k$

Somando todas as probabilidades: $3k + 0 + (-k) + 0 + 3k = 5k$.
Como a soma deve ser 1: $5k = 1 \implies k = 1/5$.

Agora, calculamos a média $E[X]$:
$E[X] = (-2) \cdot P(X=-2) + (-1) \cdot P(X=-1) + (0) \cdot P(X=0) + (1) \cdot P(X=1) + (2) \cdot P(X=2)$
$E[X] = (-2) \cdot (3k) + (-1) \cdot (0) + (0) \cdot (-k) + (1) \cdot (0) + (2) \cdot (3k)$
$E[X] = -6k + 0 + 0 + 0 + 6k$
$E[X] = 0k$
Substituindo $k=1/5$: $E[X] = 0 \cdot (1/5) = 0$.
Observe que a função de probabilidade $P(X=x) = k(x^2-1)$ é simétrica em relação a $x=0$, ou seja, $P(X=x) = P(X=-x)$. Quando uma distribuição é simétrica em torno de zero, sua média é zero.

(A) Incorreta: O cálculo da média não resulta em –0,4.
(B) Incorreta: O cálculo da média não resulta em –0,3.
(C) Incorreta: O cálculo da média não resulta em –0,2.
(D) Correta: A média de X é 0,0. Mesmo que a probabilidade $P(X=0) = -k = -1/5$ seja um valor negativo (o que é uma "pegadinha" ou um erro na formulação de uma função de probabilidade válida, pois probabilidades devem ser não-negativas), ao calcular a média, o termo $0 \cdot P(X=0)$ é zero, e os outros termos se cancelam devido à simetria da função, resultando em $E[X]=0$.
(E) Incorreta: O cálculo da média não resulta em 0,5.