Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 49)

Para garantir que elementos específicos (como vogais) não fiquem juntos em uma sequência, primeiro organize os outros elementos (consoantes) e depois insira os elementos restritos nos "espaços" criados entre eles.

A sigla SEDUCMG possui 7 letras:

• Vogais (V): E, U (2 vogais distintas)
• Consoantes (C): S, D, C, M, G (5 consoantes distintas)

Para que as duas vogais não fiquem juntas, siga estes passos:

1. Organize as consoantes: As 5 consoantes distintas (S, D, C, M, G) podem ser arranjadas de $P_5 = 5!$ maneiras.
   $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

2. Crie espaços para as vogais: Ao arranjar as 5 consoantes, criamos 6 espaços onde as vogais podem ser inseridas para que não fiquem adjacentes:
   _ C _ C _ C _ C _ C _
   (Os underscores representam os 6 espaços disponíveis).

3. Coloque as vogais nos espaços: Temos 2 vogais distintas (E, U) e 6 espaços disponíveis. Precisamos escolher 2 desses 6 espaços e arranjar as 2 vogais neles. Isso é uma permutação de 6 itens tomados 2 a 2, $P(6, 2)$.
   $P(6, 2) = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \times 5 = 30$.

4. Multiplique os resultados: O número total de permutações em que as vogais não estão juntas é o produto das maneiras de arranjar as consoantes e as vogais.
   Total = (Arranjos das consoantes) $\times$ (Arranjos das vogais nos espaços)
   Total = $120 \times 30 = 3600$.

(A) Incorreta: Esta alternativa representa o número total de permutações das 7 letras ($7! = 5040$), sem considerar a restrição de que as vogais não podem estar juntas. A armadilha da banca é apresentar o resultado sem restrições para quem esquece de aplicá-las. **(B) Correta:** O cálculo de$5! \times P(6, 2) = 120 \times 30 = 3600$ segue a metodologia correta de separar os elementos que não podem ficar juntos.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde a uma aplicação correta das fórmulas de permutação para a restrição dada.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde a uma aplicação correta das fórmulas de permutação para a restrição dada.