Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 35)

Para resolver equações com frações, primeiro simplifique todos os termos e adicione as frações do mesmo lado da equação, encontrando um denominador comum, e depois isole a variável.

• (A) Correta: Para chegar a este resultado, um aluno pode ter cometido o erro de não somar todos os termos do lado direito da equação. A expressão $2^{-1}$ é igual a $\frac{1}{2}$. Assim, o lado direito da equação é $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$. Se um aluno, por desatenção, somasse apenas $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ (ignorando o último $\frac{1}{2}$), obteria $\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$. Com isso, a equação se tornaria $\frac{5}{x} = \frac{5}{4}$, o que implica $x=4$. Representando $x$ como $\frac{p}{q}$, teríamos $x = \frac{4}{1}$, onde $p=4$ e $q=1$. Estes são inteiros positivos e primos entre si. Logo, $p+q = 4+1 = 5$. A armadilha da banca aqui é a repetição do termo $\frac{1}{2}$ (implícito em $2^{-1}$), levando o aluno a ignorar um deles por desatenção.
• (B) Incorreta: A resolução correta da equação é: $\frac{5}{x} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{7}{4}$. Assim, $\frac{5}{x} = \frac{7}{4}$, o que leva a $x = \frac{20}{7}$. Neste caso, $p=20$ e $q=7$, e $p+q = 27$, que não é 6.
• (C) Incorreta: A resolução correta da equação leva a $p+q = 27$, que não é 7. Um erro comum que levaria a $p+q=7$ seria se a equação fosse $\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 2^{-1}$, resultando em $x=\frac{4}{3}$, então $p=4, q=3$, e $p+q=7$. Mas a equação dada é diferente.
• (D) Incorreta: A resolução correta da equação leva a $p+q = 27$, que não é 8. Não há um erro comum que leve a 8 a partir da equação fornecida.