Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 37)

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante ao termo anterior. Essa constante é chamada de razão (r). O termo geral de uma PA é dado por $a_n = a_1 + (n-1)r$, onde $a_n$ é o n-ésimo termo, $a_1$ é o primeiro termo e $n$ é a posição do termo.

Para a PA dada: 10, 17, 24, 31, ...

• O primeiro termo é $a_1 = 10$.
• A razão é $r = 17 - 10 = 7$.
• O termo geral é $a_n = 10 + (n-1)7 = 10 + 7n - 7 = 7n + 3$.

Queremos encontrar o primeiro elemento da sequência que ultrapassa 2023, ou seja, $a_n > 2023$.
$7n + 3 > 2023 \7n > 2023 - 3 \7n > 2020$$n > \frac{2020}{7}$$n > 288.57...$

Como $n$ deve ser um número inteiro (representa a posição do termo), o menor valor inteiro de $n$ que satisfaz essa condição é $n = 289$.
Agora, calculamos o 289º termo:
$a_{289} = 7(289) + 3$
$a_{289} = 2023 + 3$
$a_{289} = 2026$.

Para ter certeza, verificamos o termo anterior: $a_{288} = 7(288) + 3 = 2016 + 3 = 2019$.
Como $2019 < 2023 e \2026 > 2023$, o primeiro termo que ultrapassa 2023 é 2026.

(A) Incorreta: O número 2024 não é um termo da sequência, pois $(2024 - 10)/7 = 2014/7$ não é um número inteiro. A armadilha aqui é pensar que o primeiro número depois de 2023 é 2024, ignorando que ele precisa ser um elemento da progressão.
(B) Incorreta: O número 2025 não é um termo da sequência, pois $(2025 - 10)/7 = 2015/7$ não é um número inteiro.
(C) Correta: O termo $a_{289} = 2026$ é o primeiro elemento da sequência que é maior que 2023. O termo anterior, $a_{288} = 2019$, é menor que 2023.
(D) Incorreta: O número 2027 não é um termo da sequência, pois $(2027 - 10)/7 = 2017/7$ não é um número inteiro. Além disso, 2026 já ultrapassa 2023, então 2027 não seria o primeiro.