Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 38)

Para encontrar o ponto final do percurso, calculamos o comprimento total de uma volta na pista e, em seguida, dividimos a distância total percorrida por esse valor para determinar o número de voltas completas e a distância restante na última volta. O comprimento de uma circunferência é $C = \pi d$, onde $d$ é o diâmetro.

Cálculo do comprimento de uma volta:

1. Trechos retos: PQ + RS = 90m + 90m = 180m.
2. Trechos curvos: As duas semicircunferências (de diâmetros PS e QR, ambos 60m) juntas formam uma circunferência completa de diâmetro 60m.
   • Comprimento da circunferência: $C = \pi \times d = \pi \times 60 = 60\pi$ m.
   • Usando a aproximação $\pi \approx 3.14$, temos $60\pi \approx 60 \times 3.14 = 188.4$ m.
3. Comprimento total de uma volta: $180m + 188.4m = 368.4$ m.

Cálculo da distância restante:

1. Número de voltas: O atleta percorre 1500m. Dividindo pela distância de uma volta: $1500m \div 368.4m \approx 4.0716$ voltas.
2. Isso significa que o atleta completa 4 voltas inteiras.
3. Distância percorrida em 4 voltas: $4 \times 368.4m = 1473.6$ m.
4. Distância restante: $1500m - 1473.6m = 26.4$ m.

Localização do ponto final:

1. O atleta inicia no ponto P e segue no sentido anti-horário. A distância restante de 26.4m será percorrida a partir de P na quinta volta.
2. O primeiro trecho a partir de P é o segmento reto PQ, que mede 90m. Como 26.4m é menor que 90m, o atleta estará no trecho PQ.
3. Os pontos W, X, Y, Z dividem o trecho PQ (90m) em 5 partes iguais. Cada parte mede $90m \div 5 = 18$m.
   • Ponto W está a 18m de P.
   • Ponto X está a 36m de P.
   • Ponto Y está a 54m de P.
   • Ponto Z está a 72m de P.
4. A distância restante é 26.4m.
   • A distância de 26.4m até W (18m) é $|26.4 - 18| = 8.4$m.
   • A distância de 26.4m até X (36m) é $|26.4 - 36| = 9.6$m.
5. Como 8.4m é menor que 9.6m, o ponto W é o que melhor representa a posição final do atleta.

(A) Correta: O ponto W está a 18m de P, e o atleta parou a 26.4m de P, o que o torna o ponto mais próximo da posição final (8.4m de distância).
(B) Incorreta: O ponto X está a 36m de P, e a posição final é 26.4m de P. A distância entre eles é 9.6m, que é maior do que a distância até W. A armadilha aqui seria arredondar o valor de $\pi$ ou o comprimento da pista de forma que a distância restante ficasse mais próxima de 36m (por exemplo, se a distância restante fosse 28m, X estaria a 8m e W a 10m).
(C) Incorreta: O ponto Y está a 54m de P, muito além da posição final de 26.4m.
(D) Incorreta: O ponto Z está a 72m de P, muito além da posição final de 26.4m.