Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 42)

O volume de uma pirâmide é calculado pela fórmula $V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$, onde $A_{base}$ é a área da base e $h$ é a altura da pirâmide (distância perpendicular do vértice ao centro da base). Para encontrar a altura $h$, usamos o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado pela altura, metade da diagonal da base e a aresta lateral.

Primeiro, calculamos a área da base:
A base é um quadrado de lado 2 cm.
$A_{base} = lado^2 = 2^2 = 4 \text{ cm}^2$.

Segundo, calculamos a altura da pirâmide ($h$):

1. Encontre a diagonal da base ($d$): Para um quadrado de lado $s$, a diagonal é $d = s\sqrt{2}$.
   $d = 2\sqrt{2} \text{ cm}$.
2. A distância do centro da base a um vértice é metade da diagonal: $d/2 = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ cm}$.
3. Formamos um triângulo retângulo com a altura ($h$), metade da diagonal da base ($\sqrt{2}$ cm) e a aresta lateral (3 cm) como hipotenusa.
   Pelo Teorema de Pitágoras: $L^2 = h^2 + (d/2)^2$
   $3^2 = h^2 + (\sqrt{2})^2$
   $9 = h^2 + 2$
   $h^2 = 9 - 2$
   $h^2 = 7$
   $h = \sqrt{7} \text{ cm}$.
   Usando a aproximação dada: $h \approx 2,65 \text{ cm}$.

Terceiro, calculamos o volume da pirâmide:
$V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$
$V = \frac{1}{3} \times 4 \times \sqrt{7}$
$V \approx \frac{1}{3} \times 4 \times 2,65$
$V \approx \frac{10,6}{3}$
$V \approx 3,533... \text{ cm}^3$.

Comparando com as alternativas, o valor mais próximo é 3,5.

(A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto do volume. Um erro de cálculo significativo ou o uso de uma altura incorreta (como $h = \sqrt{5} \approx 2,24$ resultaria em $V \approx 2,98$) poderia levar a um valor próximo, mas não 2,5.

(B) Incorreta: A armadilha aqui é confundir a distância do centro da base a um vértice com a aresta da base. Se o aluno, ao invés de usar $d/2 = \sqrt{2}$ cm no Teorema de Pitágoras, usasse a aresta da base (2 cm) como um dos catetos (o que é incorreto para a altura da pirâmide regular), teríamos $3^2 = h^2 + 2^2 \implies 9 = h^2 + 4 \implies h^2 = 5 \implies h = \sqrt{5} \approx 2,24$ cm. O volume seria $V = \frac{1}{3} \times 4 \times \sqrt{5} \approx \frac{4 \times 2,24}{3} = \frac{8,96}{3} \approx 2,986... \approx 3,0$.

(C) Correta: O volume é calculado corretamente como $V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$. A área da base é $4 \text{ cm}^2$. A altura $h$ é $\sqrt{7}$ cm, obtida pelo Teorema de Pitágoras usando a aresta lateral (3 cm) como hipotenusa e metade da diagonal da base ($\sqrt{2}$ cm) como cateto. Assim, $V = \frac{1}{3} \times 4 \times \sqrt{7} \approx \frac{4 \times 2,65}{3} \approx 3,533... \text{ cm}^3$, que é aproximadamente 3,5.

(D) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o aluno assumisse que a altura da pirâmide era igual à aresta lateral, ou seja, $h = 3$ cm. Nesse caso, o volume seria $V = \frac{1}{3} \times 4 \times 3 = 4 \text{ cm}^3$. No entanto, a altura de uma pirâmide regular é sempre menor que a aresta lateral.