Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 41)

A probabilidade de um evento é a chance de ele ocorrer, calculada dividindo o número de resultados favoráveis pelo número total de resultados possíveis. Para problemas que pedem "pelo menos um", é frequentemente mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar (o oposto) e subtrair de 1.

Primeiro, vamos definir o espaço amostral, que é o conjunto de todos os resultados possíveis.
Os números naturais de três algarismos vão de 100 a 999.
O total de números é $999 - 100 + 1 = 900$.

O evento desejado é "o número sorteado possui, pelo menos, um algarismo igual a 5".
O evento complementar é "o número sorteado NÃO possui nenhum algarismo igual a 5".
Vamos calcular o número de resultados para o evento complementar. Um número de três algarismos pode ser representado como $C D U$ (Centena, Dezena, Unidade).

• Para a Centena (C): Não pode ser 0 (senão não seria um número de três algarismos) e não pode ser 5. Restam 8 opções: {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}.
• Para a Dezena (D): Não pode ser 5. Restam 9 opções: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}.
• Para a Unidade (U): Não pode ser 5. Restam 9 opções: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}.
  O número de números de três algarismos que não possuem o algarismo 5 é $8 \times 9 \times 9 = 648$.

A probabilidade de um número não possuir o algarismo 5 é $P(\text{nenhum 5}) = \frac{\text{números sem 5}}{\text{total de números}} = \frac{648}{900}$.
Simplificando a fração: $\frac{648}{900} = \frac{324}{450} = \frac{162}{225} = \frac{54}{75} = \frac{18}{25}$.
Em decimal, $18 \div 25 = 0.72$.

Agora, usamos a regra do complementar: $P(\text{pelo menos um 5}) = 1 - P(\text{nenhum 5})$.
$P(\text{pelo menos um 5}) = 1 - 0.72 = 0.28$.
Convertendo para porcentagem: $0.28 \times 100\% = 28\%$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa pode ser um distrator se houver erro no cálculo do espaço amostral (por exemplo, considerando 1000 números de 000 a 999 e depois ajustando mal) ou na contagem dos números sem o algarismo 5.
• (B) Correta: A probabilidade é de 28%, calculada corretamente usando a estratégia do evento complementar, que é a forma mais eficiente e menos propensa a erros para problemas de "pelo menos um".
• (C) Incorreta: Um erro comum seria contar diretamente os números com "pelo menos um 5" e cometer equívocos na inclusão/exclusão, ou erros de cálculo na contagem. Por exemplo, se o total de números com 5 fosse 270 (270/900 = 0.30).
• (D) Incorreta: Esta alternativa também representa um erro de cálculo, seja na contagem do espaço amostral, na contagem dos casos favoráveis ou na aplicação da fórmula da probabilidade.