Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 39)

As relações de Girard, também conhecidas como Soma e Produto das Raízes, nos dizem que para uma equação do 2º grau $ax^2 + bx + c = 0$, a soma das raízes ($x_1 + x_2$) é $-b/a$ e o produto das raízes ($x_1 \cdot x_2$) é $c/a$.

Para a equação $x^2 - 9x + c = 0$:

• A soma das raízes é $x_1 + x_2 = -(-9)/1 = 9$.
• O produto das raízes é $x_1 \cdot x_2 = c/1 = c$.
  Queremos encontrar o maior valor de $c$, o que significa encontrar o maior produto $x_1 \cdot x_2$, sabendo que $x_1$ e $x_2$ são números inteiros e somam 9. Para uma soma fixa, o produto de dois números é máximo quando eles são o mais próximos possível um do outro.

Vamos listar pares de inteiros que somam 9 e seus produtos:

• $0 + 9 = 9 \implies 0 \cdot 9 = 0$
• $1 + 8 = 9 \implies 1 \cdot 8 = 8$
• $2 + 7 = 9 \implies 2 \cdot 7 = 14$
• $3 + 6 = 9 \implies 3 \cdot 6 = 18$
• $4 + 5 = 9 \implies 4 \cdot 5 = 20$

O maior produto encontrado é 20.

(A) Incorreta: 14 é um valor possível para $c$ (quando as raízes são 2 e 7), mas não é o maior.
(B) Incorreta: 18 é um valor possível para $c$ (quando as raízes são 3 e 6), mas não é o maior.
(C) Correta: O maior valor que $c$ pode assumir é 20, que ocorre quando as raízes são 4 e 5. A soma $4+5=9$e o produto$4 \cdot 5 = 20$. **(D) Incorreta:** 24 não é um valor possível para$c$que resulte em raízes inteiras. Se$c=24$, a equação seria$x^2 - 9x + 24 = 0$. O discriminante$\Delta = (-9)^2 - 4(1)(24) = 81 - 96 = -15$. Como o discriminante é negativo, a equação não possui raízes reais, muito menos inteiras. Esta é a armadilha da banca: um valor maior que os outros, mas que não satisfaz a condição de raízes inteiras.