Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 50)

Uma função quadrática ($f(x) = ax^2 + bx + c$) descreve uma parábola. Se o coeficiente $a$ for positivo ($a>0$), a parábola abre para cima e tem um ponto de mínimo no seu vértice. Para encontrar os valores máximo ou mínimo de uma função quadrática em um domínio restrito (um intervalo específico de $x$), precisamos verificar o valor da função no vértice (se ele estiver dentro do domínio) e nos extremos do domínio.

• A função dada é $f(x) = 2x^2 + 6x - 4$.

• O coeficiente $a=2$ é positivo, então a parábola abre para cima e tem um ponto de mínimo.

• A coordenada $x$ do vértice é $x_v = -b/(2a) = -6/(2 \times 2) = -6/4 = -1.5$.

• A coordenada $y$ do vértice é $f(-1.5) = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) - 4 = 2(2.25) - 9 - 4 = 4.5 - 9 - 4 = -8.5$.

• O domínio é $D = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 2\}$.

• Como $x_v = -1.5$ não está no domínio (pois $-1.5 < -1$), o vértice não é o ponto de mínimo nem de máximo dentro deste domínio.

• Como a parábola abre para cima e o vértice está à esquerda do domínio, a função é crescente em todo o intervalo $(-1, 2]$.

• Portanto, o valor mínimo (ou ínfimo) será abordado quando $x$ se aproxima de $-1$, e o valor máximo será atingido no extremo direito do domínio, $x=2$.

• $f(-1) = 2(-1)^2 + 6(-1) - 4 = 2 - 6 - 4 = -8$.

• $f(2) = 2(2)^2 + 6(2) - 4 = 2(4) + 12 - 4 = 8 + 12 - 4 = 16$.

• (A) Incorreta: O valor $-\dfrac{17}{2}$ é $-8.5$, que é o valor da função no vértice. O vértice ($x=-1.5$) não pertence ao domínio dado ($x > -1$), portanto a função não atinge esse valor dentro do domínio.

• (B) Incorreta: O valor $-8$ é o valor que a função se aproxima quando $x$ se aproxima de $-1$. Como o domínio é aberto em $x=-1$ (ou seja, $x > -1$), a função nunca atinge o valor $-8$. Portanto, não há um valor mínimo absoluto para a função nesse domínio, apenas um ínfimo. Armadilha: O distrator tenta fazer o aluno considerar o valor no extremo esquerdo do domínio, mesmo que ele não esteja incluído.

• (C) Incorreta: O valor $-\dfrac{17}{2}$ é $-8.5$, que é o valor da função no vértice. Como a função é crescente no domínio, o valor máximo deve ser no extremo direito do domínio, não no vértice.

• (D) Correta: Como a função é crescente em todo o domínio $(-1, 2]$ e o extremo direito $x=2$ está incluído no domínio, o valor máximo da função é atingido em $x=2$, que é $f(2) = 16$.