Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 48)

Para determinar a posição relativa de uma reta e uma circunferência, precisamos comparar a distância do centro da circunferência à reta (D) com o raio da circunferência (R).

• (A) Incorreta: A distância D é $2\sqrt{2}$, que é diferente de zero. Se D fosse 0, o centro da circunferência estaria sobre a reta.
• (B) Incorreta: Calculamos o raio $R = \sqrt{5}$ e a distância $D = 2\sqrt{2}$. Ao comparar, $D^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ e $R^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Como $8 > 5$, temos$D > R$, e não$D < R$. **Armadilha da banca:** Um erro comum é confundir$R^2=5$com$R=5$. Se o aluno errasse e considerasse$R=5$, então$D=2\sqrt{2} \approx 2.828$seria menor que$R=5$, levando à alternativa B. É crucial lembrar de extrair a raiz quadrada para obter o raio R a partir de$R^2$.
• (C) Incorreta: A distância D ($2\sqrt{2}$) é diferente do raio R ($\sqrt{5}$). Se D fosse igual a R, a reta seria tangente à circunferência.
• (D) Correta: Primeiro, encontramos o centro e o raio da circunferência $x^2+y^2-4x+2y=0$. Completando os quadrados, temos $(x^2-4x+4) + (y^2+2y+1) = 4+1$, resultando em $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5$. O centro da circunferência é $C=(2, -1)$ e o raio é $R=\sqrt{5}$. Em seguida, calculamos a distância D do centro $C=(2, -1)$ à reta $x+y-5=0$ usando a fórmula $D = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Assim, $D = \frac{|1(2)+1(-1)-5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|2-1-5|}{\sqrt{2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$. Finalmente, comparamos D e R: $R=\sqrt{5}$ e $D=2\sqrt{2}$. Para facilitar a comparação, elevamos ambos ao quadrado: $R^2=5$ e $D^2=(2\sqrt{2})^2=8$. Como $D^2 > R^2$, concluímos que $D > R$. Isso significa que a reta é externa à circunferência, ou seja, não há pontos de intersecção.