Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 47)

A álgebra de matrizes tem regras próprias: a multiplicação é distributiva sobre a soma, mas não é comutativa (a ordem dos fatores altera o produto) e existem matrizes não nulas cujo produto ou potência é a matriz nula.

• (A) Incorreta: A multiplicação de matrizes não é comutativa ($AB \neq BA$ em geral), então $AB + BC \neq BA + BC = B(A+C)$.
• (B) Correta: Esta é uma propriedade da distributividade da multiplicação de matrizes sobre a adição, onde $(A+B)C = AC + BC$. Como a adição de matrizes é comutativa, $AC + BC = BC + AC$.
• (C) Incorreta: Existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula (chamadas divisores de zero). Exemplo: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, então $AB = O$ mas $A \neq O$ e $B \neq O$. Armadilha da banca: Esta é a pegadinha mais comum, pois na álgebra de números reais, se $xy=0$, então $x=0$ ou $y=0$.
• (D) Incorreta: Existem matrizes não nulas que, quando elevadas a uma potência (neste caso, ao quadrado), resultam na matriz nula (chamadas matrizes nilpotentes). Exemplo: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$, então $A^2 = O$ mas $A \neq O$.