Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 46)

Quando um polinômio $P(x)$ é divisível por outro polinômio $D(x)$, significa que o resto da divisão de $P(x)$ por $D(x)$ é zero. Isso implica que $P(x)$ pode ser escrito como o produto de $D(x)$ por um terceiro polinômio $Q(x)$ (o quociente), ou seja, $P(x) = D(x) \cdot Q(x)$.

Para resolver, podemos usar a divisão de polinômios ou a comparação de coeficientes. Usaremos a comparação de coeficientes, que é mais direta neste caso.
O polinômio $P(x) = x^3 - 4x^2 + mx - 2$ tem grau 3.
O polinômio $D(x) = x^2 + x + n$ tem grau 2.
Portanto, o quociente $Q(x)$ deve ter grau $3-2=1$. Podemos representá-lo como$Q(x) = ax+b$.

Assim, temos:
$x^3 - 4x^2 + mx - 2 = (x^2 + x + n)(ax+b)$

Expandindo o lado direito:
$(x^2 + x + n)(ax+b) = ax^3 + bx^2 + ax^2 + bx + nax + nb$
Agrupando os termos por potências de $x$:
$ax^3 + (b+a)x^2 + (b+na)x + nb$

Agora, comparamos os coeficientes deste polinômio expandido com os coeficientes de $P(x) = x^3 - 4x^2 + mx - 2$:

1. Coeficiente de $x^3$:
   a = 1\

2. Coeficiente de $x^2$:
   $b+a = -4$
   Substituindo $a=1$:
   b+1 = -4 \implies b = -5\

3. Termo constante:
   $nb = -2$
   Substituindo $b=-5$:
   n(-5) = -2 \implies n = \dfrac{-2}{-5} \implies n = \dfrac{2}{5}\

4. Coeficiente de $x$:
   $b+na = m$
   Substituindo $a=1$, $b=-5$ e $n=\dfrac{2}{5}$:
   $-5 + \left(\dfrac{2}{5}\right)(1) = m$
   $m = -5 + \dfrac{2}{5}$
   $m = -\dfrac{25}{5} + \dfrac{2}{5} \implies m = -\dfrac{23}{5}$

Finalmente, o problema pede o valor de $m+n$:
$m+n = -\dfrac{23}{5} + \dfrac{2}{5} = -\dfrac{21}{5}$

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos valores calculados de $m$ e $n$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa é o valor de $-n$ (se $n=2/5$, então $-n=-2/5$). É um distrator comum para quem calcula $n$ corretamente, mas erra o sinal ou confunde a resposta final com um dos valores encontrados, ou comete um erro de sinal na soma final.
• (C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos valores calculados de $m$ e $n$.
• (D) Correta: O valor de $m+n$ é $-\dfrac{21}{5}$, conforme calculado pela comparação de coeficientes.