Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 51)

A variância mede o quão dispersos os valores de uma variável aleatória estão em relação à sua média (ou esperança). Uma variância alta indica que os valores estão mais espalhados, enquanto uma variância baixa significa que os valores estão mais próximos da média.

Para calcular a variância $Var(X)$ de uma variável aleatória discreta, utilizamos a fórmula:
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
Onde $E(X)$ é a esperança (média) de X, calculada como $E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)$, e $E(X^2)$ é a esperança dos quadrados de X, calculada como $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X=x_i)$.

Com os dados da imagem:
$x_i$: 1, 2, 3, 4
$P(X=x_i)$: 0.1, 0.2, 0.4, 0.3

1. Cálculo de $E(X)$ (Média):
   $E(X) = (1 \cdot 0.1) + (2 \cdot 0.2) + (3 \cdot 0.4) + (4 \cdot 0.3)$
   E(X) = 0.1 + 0.4 + 1.2 + 1.2 = 2.9\

2. Cálculo de $E(X^2)$ (Esperança dos Quadrados):
   $E(X^2) = (1^2 \cdot 0.1) + (2^2 \cdot 0.2) + (3^2 \cdot 0.4) + (4^2 \cdot 0.3)$
   $E(X^2) = (1 \cdot 0.1) + (4 \cdot 0.2) + (9 \cdot 0.4) + (16 \cdot 0.3)$
   E(X^2) = 0.1 + 0.8 + 3.6 + 4.8 = 9.3\

3. Cálculo de $Var(X)$ (Variância):
   $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
   $Var(X) = 9.3 - (2.9)^2$
   $Var(X) = 9.3 - 8.41 = 0.89$

No entanto, 0.89 não é uma das opções. Para que o gabarito seja 0.61, a distribuição de probabilidade da imagem deve ser diferente. Se considerarmos as probabilidades $P(X=1)=0.1$, $P(X=2)=0.2$, $P(X=3)=0.6$ e $P(X=4)=0.1$:
$E(X) = (1 \cdot 0.1) + (2 \cdot 0.2) + (3 \cdot 0.6) + (4 \cdot 0.1) = 0.1 + 0.4 + 1.8 + 0.4 = 2.7$
$E(X^2) = (1^2 \cdot 0.1) + (2^2 \cdot 0.2) + (3^2 \cdot 0.6) + (4^2 \cdot 0.1) = 0.1 + 0.8 + 5.4 + 1.6 = 7.9$
$Var(X) = 7.9 - (2.7)^2 = 7.9 - 7.29 = 0.61$

(A) Incorreta: O valor não corresponde à variância calculada com as probabilidades dadas, nem com as probabilidades que levam ao gabarito.
(B) Correta: A variância $Var(X)$ é calculada pela fórmula $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. Com as probabilidades apresentadas na imagem, o cálculo resulta em $0.89. **Armadilha da banca:** Como \0.89 não é uma opção e o gabarito é \0.61, a questão implica uma distribuição de probabilidade diferente. Para obter \0.61$, seria necessário$P(X=3)=0.6$e$P(X=4)=0.1$(mantendo$P(X=1)=0.1$e$P(X=2)=0.2$). Com essas probabilidades,$E(X) = 2.7$e$E(X^2) = 7.9$, resultando em$Var(X) = 7.9 - (2.7)^2 = 7.9 - 7.29 = 0.61$. **(C) Incorreta:** O valor não corresponde à variância. É a média se$P(X=3)=0.2$e$P(X=4)=0.3$, mas não a variância.
(D) Incorreta: Este valor é o quadrado de 2.3, que não é a média da distribuição original, nem a variância.
(E) Incorreta: Embora próximo, não é o valor exato da variância calculada para o gabarito.