Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 41)

A soma dada é uma série telescópica, onde cada termo pode ser reescrito de forma que a maioria dos termos se cancela quando somados, simplificando a expressão final antes de calcular o limite.

• (A) Correta: O termo geral da soma é $\frac{1}{k(k+1)}$. Usando a decomposição em frações parciais, podemos reescrever cada termo como $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
  A soma $S_n$ fica:
  $S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$.
  Todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas o primeiro e o último: $S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$.
  Para encontrar o limite, calculamos $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = \lim\limits_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$.
  Como $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0$, o limite da soma é $1 - 0 = 1. Expressando \1$como uma fração irredutível de números naturais, temos$\frac{a}{b} = \frac{1}{1}$, onde$a=1$e$b=1$. Assim,$a+b = 1+1 = 2$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa seria correta se o limite resultasse em uma fração como $\frac{1}{2}$ (onde $a=1, b=2$) ou $\frac{2}{1}$ (onde $a=2, b=1$), mas o limite é 1.
• (C) Incorreta: Esta alternativa seria correta se o limite resultasse em uma fração onde $a+b=4$, o que não é o caso.
• (D) Incorreta: Esta alternativa seria correta se o limite resultasse em uma fração onde $a+b=5$, o que não é o caso.
• (E) Incorreta: Esta alternativa seria correta se o limite resultasse em uma fração onde $a+b=7$, o que não é o caso. A armadilha para esta e outras alternativas incorretas seria cometer um erro na decomposição em frações parciais ou na identificação dos cancelamentos da série telescópica, levando a um limite incorreto.