Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 47)

Quando substituímos o valor para o qual $x$ tende em uma função e obtemos uma forma indeterminada como $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, precisamos usar técnicas especiais para encontrar o limite, como a Regra de L'Hôpital ou identidades trigonométricas e limites fundamentais.

(A) Incorreta: Esta alternativa resultaria de erros algébricos ou de aplicação incorreta de identidades ou regras de derivação, como um erro no coeficiente ao usar a identidade trigonométrica ou na derivada ao usar L'Hôpital.
(B) Incorreta: Esta alternativa poderia ser obtida se o aluno aplicasse a identidade $1-\cos(x) = 2\sin^2(x/2)$ e, de alguma forma, confundisse o argumento ou os coeficientes, ou se utilizasse a aproximação incorreta $1-\cos(2x) \approx x^2/2$ (como se fosse $1-\cos(x)$) resultando em $\frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$.
(C) Incorreta: Armadilha da banca: Esta é uma armadilha comum! O aluno pode esquecer o fator 2 da identidade $1-\cos(2x) = 2\sin^2(x)$ e simplificar incorretamente para $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} = \left(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 1^2 = 1$. Ou, de forma similar, pode usar uma aproximação incorreta $1-\cos(2x) \approx x^2$ para $x$ pequeno, levando a $\frac{x^2}{x^2}=1$. Lembre-se que a aproximação correta para $1-\cos(u)$ quando $u \to 0$ é $u^2/2$.
(D) Correta: O limite pode ser resolvido de duas maneiras principais.

1. Usando identidades trigonométricas e limites fundamentais: Sabemos que a identidade trigonométrica $1-\cos(2x) = 2\sin^2(x)$. Substituindo na expressão do limite, temos:
   $\lim\limits_{x\to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2} = \lim\limits_{x\to 0} 2 \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2$.
   Como o limite fundamental $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$, então o limite é $2 \cdot (1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.
2. Usando a Regra de L'Hôpital: Como a substituição direta de $x=0$ resulta na forma indeterminada $\frac{0}{0}$, podemos aplicar a Regra de L'Hôpital. Derivamos o numerador e o denominador separadamente:
   $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1-\cos(2x))}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{2\sin(2x)}{2x}$.
   Simplificando, temos $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$. Esta ainda é uma forma $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital novamente:
   $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin(2x))}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{2\cos(2x)}{1}$.
   Substituindo $x=0$: $2\cos(2 \cdot 0) = 2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$.
   (E) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro de cálculo, como multiplicar o resultado correto por 2, ou de uma aplicação incorreta de alguma regra ou identidade, por exemplo, se o aluno usasse $1-\cos(2x) \approx (2x)^2 = 4x^2$, o que levaria a $\frac{4x^2}{x^2}=4$. A aproximação correta é $1-\cos(u) \approx u^2/2$.