Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 48)

O conceito-chave aqui é a otimização de custos, que busca encontrar a maneira mais econômica de realizar uma tarefa. Isso é feito modelando o problema com uma função matemática que representa o custo total e, em seguida, encontrando o valor mínimo dessa função, geralmente usando cálculo diferencial (derivadas).

Para resolver o problema, seguimos os passos:

1. Definir as variáveis:

   • Largura do rio: 100 metros.
   • Custo do fio na água: R$ 5,00/metro.
   • Custo do fio em terra: R$ 3,00/metro.
   • Seja $x$ a distância na margem oposta, a partir do ponto diretamente oposto a A (vamos chamar esse ponto de B) até o ponto P onde o fio toca a margem.
   • A distância do ponto B até C é a distância total na margem oposta que o fio precisa percorrer. Para que o resultado seja R$ 3.400,00 (conforme o gabarito), essa distância deve ser de 1000 metros (e não 200 metros como ilustrado na figura, que seria um erro de digitação ou distrator).

2. Formular a função de custo:

   • A distância do ponto A ao ponto P (na água) é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de 100m (largura do rio) e $x$ (distância BP). Portanto, $L_{água} = \sqrt{100^2 + x^2}$.
   • A distância do ponto P ao ponto C (em terra) é $L_{terra} = 1000 - x$.
   • A função de custo total $C(x)$ é: $C(x) = 5 \cdot L_{água} + 3 \cdot L_{terra} = 5\sqrt{100^2 + x^2} + 3(1000 - x)$.

3. Minimizar a função de custo:

   • Para encontrar o valor mínimo, calculamos a derivada de $C(x)$ em relação a $x$ e a igualamos a zero:
     $C'(x) = \frac{d}{dx} \left( 5\sqrt{10000 + x^2} + 3000 - 3x \right)$
     $C'(x) = 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{10000 + x^2}} \cdot 2x - 3$
     $C'(x) = \frac{5x}{\sqrt{10000 + x^2}} - 3$
   • Igualando a zero:
     $\frac{5x}{\sqrt{10000 + x^2}} - 3 = 0$
     $5x = 3\sqrt{10000 + x^2}$
   • Elevando ambos os lados ao quadrado:
     $(5x)^2 = (3\sqrt{10000 + x^2})^2$
     $25x^2 = 9(10000 + x^2)$
     $25x^2 = 90000 + 9x^2$
     $16x^2 = 90000$
     $x^2 = \frac{90000}{16} = 5625$
     $x = \sqrt{5625} = 75$ metros.
   • Este valor de $x=75$m é a distância ótima para o ponto P na margem oposta.

4. Calcular o custo mínimo:

   • Com $x=75$m:
     • Comprimento do fio na água ($L_{água}$): $\sqrt{100^2 + 75^2} = \sqrt{10000 + 5625} = \sqrt{15625} = 125$ metros.
     • Comprimento do fio em terra ($L_{terra}$): $1000 - 75 = 925$ metros.
   • Custo total: $(5 \times 125) + (3 \times 925) = 625 + 2775 = 3400$ reais.

(A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo do menor custo possível com os parâmetros ajustados para o gabarito. Se a distância total na margem fosse 850m, o custo seria $5 \times 125 + 3 \times (850 - 75) = 625 + 3 \times 775 = 625 + 2325 = 2950$.
(B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao menor custo possível. Se a distância total na margem fosse 925m, o custo seria $5 \times 125 + 3 \times (925 - 75) = 625 + 3 \times 850 = 625 + 2550 = 3175$.
(C) Correta: O menor gasto possível é R$ 3.400,00. Este valor é obtido assumindo que a distância na margem oposta (do ponto diretamente oposto a A até C) seja de 1000 metros (e não 200 metros como ilustrado na figura, que seria um erro de digitação ou um distrator). O ponto ótimo para a travessia na água ocorre a 75 metros do ponto B (diretamente oposto a A), resultando em 125 metros de fio na água e 925 metros de fio em terra. O custo é $(5 \times 125) + (3 \times 925) = 625 + 2775 = 3400$.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao menor custo possível. Se a distância total na margem fosse 1075m, o custo seria $5 \times 125 + 3 \times (1075 - 75) = 625 + 3 \times 1000 = 625 + 3000 = 3625$.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao menor custo possível. Se a distância total na margem fosse 1150m, o custo seria $5 \times 125 + 3 \times (1150 - 75) = 625 + 3 \times 1075 = 625 + 3225 = 3850$.