Questão de Tecnologia da Informação · FGV DATAPREV 2024 (nº 46)

O valor esperado de uma variável aleatória é a média ponderada de seus possíveis resultados. Para calculá-lo, multiplicamos cada valor que a variável pode assumir pela sua probabilidade de ocorrência e somamos todos esses produtos. Em outras palavras, é o valor que se "espera" obter em média se o experimento for repetido muitas vezes. Para uma variável aleatória discreta $X$, o valor esperado $E[X]$ é dado por $E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$.

Neste problema, temos 3 bolas vermelhas e 4 bolas azuis, totalizando 7 bolas. Serão retiradas 3 bolas, sucessivamente e sem reposição. A variável aleatória $X$ representa a quantidade de bolas azuis retiradas.

Podemos calcular o valor esperado de duas formas:

Método 1: Calculando as probabilidades de cada resultado
Os possíveis valores para $X$ (quantidade de bolas azuis) são 0, 1, 2 ou 3. O número total de maneiras de retirar 3 bolas de 7 é $\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

• P(X=0): 0 azuis e 3 vermelhas.
  $\binom{4}{0} \times \binom{3}{3} = 1 \times 1 = 1$.
  $P(X=0) = \frac{1}{35}$.
• P(X=1): 1 azul e 2 vermelhas.
  $\binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 4 \times 3 = 12$.
  $P(X=1) = \frac{12}{35}$.
• P(X=2): 2 azuis e 1 vermelha.
  $\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 6 \times 3 = 18$.
  $P(X=2) = \frac{18}{35}$.
• P(X=3): 3 azuis e 0 vermelhas.
  $\binom{4}{3} \times \binom{3}{0} = 4 \times 1 = 4$.
  $P(X=3) = \frac{4}{35}$.

Agora, calculamos o valor esperado:
$E[X] = (0 \times \frac{1}{35}) + (1 \times \frac{12}{35}) + (2 \times \frac{18}{35}) + (3 \times \frac{4}{35})$
$E[X] = 0 + \frac{12}{35} + \frac{36}{35} + \frac{12}{35}$
$E[X] = \frac{12 + 36 + 12}{35} = \frac{60}{35} = \frac{12}{7}$

Método 2: Usando a fórmula do Valor Esperado para Distribuição Hipergeométrica
Este é um problema de distribuição hipergeométrica, pois estamos amostrando sem reposição de uma população finita. O valor esperado para uma distribuição hipergeométrica é dado por $E[X] = n \frac{K}{N}$, onde:

• $n$ é o número de retiradas (3 bolas).
• $K$ é o número de "sucessos" na população (4 bolas azuis).
• $N$ é o tamanho total da população (7 bolas).

$E[X] = 3 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7}$

Ambos os métodos resultam em $E[X] = \frac{12}{7}$.
Convertendo para decimal: $\frac{12}{7} \approx 1.71428...$
Arredondando para uma casa decimal, obtemos 1,7.

A) Incorreta: O valor 2,7 não corresponde ao cálculo do valor esperado.
B) Incorreta: O valor 2,1 não corresponde ao cálculo do valor esperado.
(C) Correta: O valor esperado de X é 1,7, resultado da divisão de 12 por 7, que é aproximadamente 1,714.
D) Incorreta: Este valor (1,3) seria o resultado aproximado se a variável aleatória fosse a quantidade de bolas vermelhas retiradas ($E[Y] = 3 \times \frac{3}{7} = \frac{9}{7} \approx 1,28$), sendo o distrator mais tentador por essa confusão.
E) Incorreta: O valor 0,9 não corresponde ao cálculo do valor esperado.